Question

X+y+z=1 x²+y²+z²=2 x³+y³+z³=6 x⁴+y⁴+z⁴=? ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Я предполагаю что ответ будет = 24

х + у + z = 1

x² + y² + z² = 2

Результат 1 примера умножили на степень второго примера и получили 2 (1*2=2)

х³ + у³ + z³ = 6

Результат 2 примера умножили на степень третьего примера и получили 6 (2*3=6)

х⁴ + у⁴ + z⁴ = 24

Результат 3 примера умножили на степень четвёртого примера и получили 24 (6*4=24)

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение подробно. У нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 2 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 6 \end{cases} \]

Мы ищем значение выражения \( x^4 + y^4 + z^4 \).

Метод решения

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулами симметрических многочленов. Давайте обозначим суммы корней как \( s_1 = x + y + z \), \( s_2 = xy + yz + zx \) и \( s_3 = xyz \). Затем мы можем выразить суммы степеней корней через эти суммы:

\[ x^2 + y^2 + z^2 = s_1^2 - 2s_2 \] \[ x^3 + y^3 + z^3 = s_1^3 - 3s_1s_2 + 3s_3 \] \[ x^4 + y^4 + z^4 = s_1^4 - 4s_1^2s_2 + 4s_1s_3 + 2s_2^2 - 4s_4 \]

Теперь у нас есть выражение для \( x^4 + y^4 + z^4 \) через суммы корней \( s_1 \), \( s_2 \) и \( s_3 \). Мы уже знаем, что \( s_1 = 1 \), \( s_2 = 0 \) и \( s_3 = 0 \) из исходной системы уравнений.

Решение

Подставив известные значения в выражение для \( x^4 + y^4 + z^4 \), мы получаем:

\[ x^4 + y^4 + z^4 = 1^4 - 4*1^2*0 + 4*1*0 + 2*0^2 - 4*0 = 1 \]

Таким образом, значение выражения \( x^4 + y^4 + z^4 \) равно 1.

Итак, искомый ответ: \( x^4 + y^4 + z^4 = 1 \).