Question

При каком значении z векторы a{1;-4;0}, b{-1;0;-1} и c{3;z;0} компланарны?

Answer 1

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно $0$.

$(a,b,c) = (a,[b,c]) = \left(\begin{array}{c}1\\-4\\0\end{array}\right)\cdot \left(\left(\begin{array}{c}-1\\0\\-1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\z\\0\end{array}\right)\right) = \left(\begin{array}{c}1\\-4\\0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}z\\-3\\-z\end{array}\right) = z+12 = 0 \Leftrightarrow z=-12$

Есть и другой способ. Как видно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, а потому вектор $\vec{c}$ можно представить в виде линейной комбинации этих векторов тогда и только тогда, когда $\vec{c}$ лежит в одной плоскости с данными векторами. Иными словами: $\lambda\vec{a} + \mu\vec{b} = \vec{c} \Leftrightarrow \begin{cases}\lambda-\mu=3\\ -4\lambda=z\\-\mu = 0\end{cases} \Rightarrow \mu=0,\;\lambda = 3,\; z=-4\cdot 3 = -12$

Answer 2

Для того чтобы векторы a{1;-4;0}, b{-1;0;-1} и c{3;z;0} были компланарными, необходимо, чтобы они лежали в одной плоскости.

Условие компланарности векторов

Для проверки компланарности векторов можно воспользоваться следующим условием: векторы a, b и c компланарны, если определитель матрицы, составленной из этих векторов, равен нулю.

Проверка компланарности векторов

Составим матрицу из векторов a, b и c и проверим, равен ли ее определитель нулю:

| 1  -1  3 |
| -4  0  z |
| 0  -1  0 |

Определитель этой матрицы равен 0, если и только если векторы a, b и c компланарны.

Решение

Вычислим определитель матрицы:

1 * (0 * 0 - (-1) * (-1)) - (-1) * (-1 * 0 - (-1) * 3) + 3 * (-1 * (-1) - 0 * (-4))
= 1 * (0 - 1) - (-1) * (0 - 3) + 3 * (1 - 0)
= 1 * (-1) - (-1) * (-3) + 3 * 1
= -1 + 3 + 3
= 5

Таким образом, векторы a{1;-4;0}, b{-1;0;-1} и c{3;z;0} будут компланарными при любом значении z, кроме z = 5.

Ответ: Векторы a{1;-4;0}, b{-1;0;-1} и c{3;z;0} будут компланарными при любом значении z, кроме z = 5.