Question

найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее заданным начальным условиям y''+8y'+16y=0; y(0)=2; y'(0)=-1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, можно воспользоваться методом Лапласа. Сначала найдем преобразование Лапласа для данного дифференциального уравнения:

Пусть Y(s) будет преобразованием Лапласа функции y(t). Тогда применим преобразование Лапласа к исходному дифференциальному уравнению:

s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 8sY(s) - 8y(0) + 16Y(s) = 0,

где y(0) = 2 и y'(0) = -1.

Подставим начальные условия в уравнение:

s^2Y(s) - 2s + 8sY(s) - 16 + 16Y(s) = 0.

Теперь выразим Y(s):

Y(s)(s^2 + 8s + 16) + 8s - 16 = 0,

Y(s)(s + 4)^2 = 16 - 8s,

Y(s) = (16 - 8s) / ((s + 4)^2).

Теперь применим обратное преобразование Лапласа, чтобы найти y(t):

y(t) = L^(-1){(16 - 8s) / ((s + 4)^2)}.

Преобразуем выражение под знаком обратного преобразования:

y(t) = L^(-1){16 / ((s + 4)^2)} - L^(-1){8s / ((s + 4)^2)}.

Используем таблицу преобразований Лапласа и найдем обратные преобразования:

y(t) = 16 * t * e^(-4t) - 8 * (t + 1) * e^(-4t).

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, это:

y(t) = 16 * t * e^(-4t) - 8 * (t + 1) * e^(-4t).