Question

Помогите пожалуйста найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям y'''=sin x, x нулевое=пи/2, у (пи/2)=1, y' (пи/2)=0, y''(пи/2)=0

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является уравнением третьего порядка.

Для нахождения частного решения начнем с поиска общего решения соответствующего однородного уравнения: y''' = 0.

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y_h = C1 + C2*x + C3*x^2, где C1, C2, C3 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения: y_p.

Для этого предположим, что y_p = A*sin(x) + B*cos(x), где A и B - неизвестные постоянные.

Подставим это предположение в исходное уравнение и найдем значения A и B:

y_p''' = -A*sin(x) - B*cos(x)

Подставляя значения y_p, y_p', y_p'' в исходное уравнение, получаем:

-A*sin(x) - B*cos(x) = sin(x)

Из этого равенства получаем систему уравнений:

-A = 1 -B = 0

Решая эту систему, получаем A = -1 и B = 0.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид: y_p = -sin(x).

Теперь найдем общее решение исходного уравнения, сложив общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p = C1 + C2*x + C3*x^2 - sin(x).

Для нахождения конкретного решения сначала найдем значения постоянных C1, C2, C3, используя начальные условия.

Условие x_0 = pi/2: подставим x_0 в общее решение и приравняем его к начальному значению y_0 = 1:

C1 + C2*(pi/2) + C3*(pi/2)^2 - sin(pi/2) = 1.

Условие y'(pi/2) = 0: возьмем производную от общего решения и подставим x = pi/2:

C2 + 2*C3*(pi/2) - cos(pi/2) = 0.

Условие y''(pi/2) = 0: возьмем вторую производную от общего решения и подставим x = pi/2:

2*C3 - sin(pi/2) = 0.

Решая данную систему уравнений, найдем значения C1, C2, C3.

Итак, после решения системы уравнений получим:

C1 = 1 C2 = 0 C3 = 0.

Таким образом, конкретное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид:

y = 1 - sin(x).