Question

"вычислите интеграл dx/(x-2)^2 нижний предел 0, верхний 3"

Answer 1

$\int\limits^3_0 { \frac{1}{(x-2)^2} } \, dx =\{x-2=u,\,\,du=dx\}= \int\limits^3_0 { \frac{1}{u^2} } \, du =- \frac{1}{u}+C=\\= - \frac{1}{x-2}|^3_0=- \frac{1}{3-2} - \frac{1}{2} =-1.5$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать метод частичных дробей. Давайте разложим исходное выражение на простейшие дроби с неизвестными коэффициентами:

Шаг 1: Разложение на простейшие дроби

Представим интеграл в виде:

∫dx / (x - 2)^2 = A / (x - 2) + B / (x - 2)^2

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы пытаемся найти.

Шаг 2: Получение общего знаменателя

Умножим оба члена выражения на (x - 2)^2, чтобы получить общий знаменатель:

1 = A(x - 2) + B

Шаг 3: Нахождение коэффициентов

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x на обеих сторонах уравнения:

При x^1: 0 = A

При x^0: 1 = -2A + B

Из первого уравнения мы находим, что A = 0. Подставим это значение во второе уравнение:

1 = -2(0) + B B = 1

Таким образом, разложение на простейшие дроби выглядит так:

∫dx / (x - 2)^2 = 0 / (x - 2) + 1 / (x - 2)^2

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь, когда мы разложили исходное выражение на простейшие дроби, мы можем вычислить интеграл:

∫dx / (x - 2)^2 = ∫0 / (x - 2) dx + ∫1 / (x - 2)^2 dx

Первый интеграл равен 0, так как это интеграл константы. Второй интеграл можно вычислить следующим образом:

∫1 / (x - 2)^2 dx = -1 / (x - 2)

Шаг 5: Вычисление значения интеграла

Теперь, чтобы вычислить значение интеграла в заданных пределах (от 0 до 3), мы подставляем верхний предел (3) и вычитаем значение при нижнем пределе (0):

∫0^3 dx / (x - 2)^2 = [-1 / (x - 2)]|_0^3

Подставляем значения:

[-1 / (3 - 2)] - [-1 / (0 - 2)]

Упрощаем:

[-1 / 1] - [-1 / -2] = -1 + 1/2

Итак, значение интеграла равно -1/2.

Таким образом, интеграл ∫dx / (x - 2)^2 от 0 до 3 равен -1/2.