Question

1),Написать уравнение прямой, по которой плоскость x-2y+1=0 пересекает координатную плоскость Oxz. 2). Составить уравнение сферы, проходящей через четыре точки: А(1;-2;-1), В(4;1;11), С(-8;-2;2) и D(-5;10;-1). (x–a)2+(y–b)2+(z–c)2=R2 – каноническое уравнение сферы с центром в точке О(a;b;c) и радиусом R

Answer 1

1) Написать уравнение прямой, по которой плоскость x-2y+1=0 пересекает координатную плоскость Oxz.

Рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве:

Ax + By + Cz + D = 0

Если C = 0, то уравнение будет иметь вид Ax + By + D = 0.

Тогда вектор нормали к плоскости n(A, B, 0)будет перпендикулярен оси Oz, значит, данная плоскость параллельна оси Oz.

А так как уравнение координатной плоскости Oxz имеет вид у = 0, то, подставив это значение в уравнение плоскости x-2y+1=0, получим:

х + 1 = 0.

2) Составить уравнение сферы, проходящей через четыре точки: А(1;-2;-1), В(4;1;11), С(-8;-2;2) и D(-5;10;-1).

Для решения применим  метод Георгия Александрова, который вывел  формулы для центра сферы по четырем точкам:

(даны во вложении).

Подставив, координаты точек, получаем:

23328

:          xo = -2

-11664

-46656

:          yo = 4

-58320

:         zo = 5

-11664

Радиус окружности R=√((x1−xo)2+(y1−yo)2+(z1−zo)2).

R = √((1-(-2))² + (-2-4)² + (-1-5)²) = √(9 + 36 + 36) = √81 = 9.

Уравнение сферы: (x + 2)² + (y – 4)² + (z – 5)² = 9².

Решение матричных уравнений с применением схемы Саррюса приведено во вложении на базе программы Excel.

Answer 2

1) Уравнение прямой, по которой плоскость x - 2y + 1 = 0 пересекает координатную плоскость Oxz

Для нахождения уравнения прямой, по которой плоскость x - 2y + 1 = 0 пересекает координатную плоскость Oxz, нужно найти точки пересечения этой плоскости с Oxz.

Плоскость x - 2y + 1 = 0 пересекает плоскость Oxz, когда координата y равна нулю. Подставим y = 0 в уравнение плоскости: x - 2(0) + 1 = 0 x + 1 = 0 x = -1

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости Oxz имеет координаты (-1, 0, 0).

Теперь, используя эту точку и направляющий вектор прямой, можно записать уравнение прямой. Направляющий вектор прямой будет иметь координаты (1, 0, 0), так как прямая параллельна Oxz.

Уравнение прямой, проходящей через точку (-1, 0, 0) и параллельной Oxz, можно записать в параметрической форме: x = -1 + t y = 0 z = 0

где t - параметр, принимающий любые значения.

Таким образом, уравнение прямой, по которой плоскость x - 2y + 1 = 0 пересекает координатную плоскость Oxz, можно записать в параметрической форме: x = -1 + t y = 0 z = 0

2) Уравнение сферы, проходящей через четыре точки: A(1;-2;-1), B(4;1;11), C(-8;-2;2) и D(-5;10;-1)

Для составления уравнения сферы, проходящей через четыре точки A(1;-2;-1), B(4;1;11), C(-8;-2;2) и D(-5;10;-1), воспользуемся каноническим уравнением сферы:

(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2

где (a, b, c) - координаты центра сферы, R - радиус сферы.

Для нахождения уравнения сферы, нам необходимо найти координаты центра сферы и радиус.

Координаты центра сферы можно найти, используя среднее арифметическое координат точек A, B, C и D: a = (1 + 4 - 8 - 5) / 4 = -2 b = (-2 + 1 - 2 + 10) / 4 = 1.75 c = (-1 + 11 + 2 - 1) / 4 = 2.75

Таким образом, координаты центра сферы равны (-2, 1.75, 2.75).

Радиус сферы можно найти, используя расстояние между центром сферы и одной из точек (например, точкой A): R = sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2)

R = sqrt((1 - (-2))^2 + (-2 - 1.75)^2 + (-1 - 2.75)^2) R = sqrt(9 + 12.5625 + 12.5625) R = sqrt(34.125)

Таким образом, радиус сферы равен sqrt(34.125).

Итак, уравнение сферы, проходящей через четыре точки A(1;-2;-1), B(4;1;11), C(-8;-2;2) и D(-5;10;-1), можно записать как: (x + 2)^2 + (y - 1.75)^2 + (z - 2.75)^2 = 34.125