Question

35 баллов! В кафе «Пицццццачка» ко дню Святого Валентина устроили акцию: две пиццы по цене одной. Правда, при этом, если одна пицца имела диаметр 40 см, то две другие (которые вместо одной), имели такой диаметр, чтобы суммарное количество продукта не превышало количество продукта в одной пицце. Какой наибольший натуральный диаметр этих пицц возможен, если толщина у всех одинаковая?

Answer 1

Пиццы одинаковые по толщине

Answer 2

Для решения данной задачи нужно использовать понятие площади круга.

Пусть d1 - диаметр первой пиццы (40 см), d2 - диаметр второй пиццы, d3 - диаметр третьей пиццы.

Так как площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, то можно записать следующее соотношение:

(d1/2)^2 = (d2/2)^2 + (d3/2)^2

Раскроем скобки:

d1^2/4 = d2^2/4 + d3^2/4

Умножим обе части уравнения на 4:

d1^2 = d2^2 + d3^2

Поскольку диаметр пиццы не может быть отрицательным, то можно сказать, что d1, d2 и d3 - положительные числа.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего натурального числа d2 и d3, при котором выполнится данное уравнение.

При этом, суммарное количество продукта в двух пиццах не должно превышать количество продукта в одной пицце. То есть, площадь круга для двух пицц должна быть меньше или равна площади круга для одной пиццы.

Площадь круга можно выразить через его радиус:

S = π * r^2

Так как толщина пицц одинаковая, то радиусы у пицц будут равны половине их диаметров:

r1 = d1/2 r2 = d2/2 r3 = d3/2

Следовательно, нам нужно найти наибольшее натуральное число d2 и d3, при котором выполняется следующее неравенство:

2 * π * (r2^2 + r3^2) ≤ π * r1^2

Сократим обе части уравнения на π:

2 * (r2^2 + r3^2) ≤ r1^2

Раскроем скобки:

2 * r2^2 + 2 * r3^2 ≤ r1^2

Так как r1 = d1/2, r2 = d2/2 и r3 = d3/2, то можно переписать уравнение:

2 * (d2/2)^2 + 2 * (d3/2)^2 ≤ (d1/2)^2

Упростим уравнение:

d2^2 + d3^2 ≤ d1^2/2

Теперь подставим изначальные значения:

d2^2 + d3^2 ≤ 40^2/2 d2^2 + d3^2 ≤ 800

Так как d2 и d3 - натуральные числа, то нужно найти наибольшую возможную сумму квадратов натуральных чисел, которая не превышает 800.

После проб и ошибок можно установить, что наибольшая возможная сумма квадратов натуральных чисел, не превышающая 800, равна 625 (25^2 + 20^2).

То есть, наибольший натуральный диаметр пиццы возможен при d2 = 20 см и d3 = 25 см.

Таким образом, наибольший натуральный диаметр этих пицц составляет 25 см.