Question

Знайдіть проміжки монотонності функції f(x)=3+9x^2-x^3, f(x)=1/3x^3-4x (два вирази) срочно! 40балів

Answer 1

Ответ:

f(x)=3+9x^2-x^3,
f(x)=1/3x^3-4x

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Щоб знайти проміжки монотонності функцій f(x) = 3 + 9x^2 - x^3 та f(x) = (1/3)x^3 - 4x, спочатку треба знайти похідну цих функцій та з'ясувати їх знаки.

Знаходження похідних

Похідна функції f(x) = 3 + 9x^2 - x^3 може бути знайдена шляхом застосування правил диференціювання до кожного члена функції окремо. Отримаємо:

f'(x) = 0 + 18x - 3x^2.

Похідна функції f(x) = (1/3)x^3 - 4x також може бути знайдена застосуванням правил диференціювання до кожного члена функції окремо. Отримаємо:

f'(x) = (1/3)(3x^2) - 4.

Знаходження знаків похідних

Тепер треба з'ясувати знаки похідних, щоб визначити проміжки монотонності кожної функції.

Для функції f(x) = 3 + 9x^2 - x^3:

Для цього типу функції треба з'ясувати знаки похідної на інтервалах, де f'(x) = 0 або не існує.

Розв'яжемо рівняння f'(x) = 0:

18x - 3x^2 = 0.

Факторизуємо рівняння:

3x(6 - x) = 0.

Отримаємо два значення x: x = 0 та x = 6.

Тепер треба з'ясувати знаки похідної на інтервалах (-∞, 0), (0, 6) та (6, +∞). Розглянемо кожен інтервал окремо:

На інтервалі (-∞, 0), можна вибрати тестову точку x = -1. Підставимо це значення в f'(x):

f'(-1) = 18(-1) - 3(-1)^2 = -18 - 3 = -21.

Так як f'(-1) < 0, то на інтервалі (-∞, 0) функція f(x) є спадною.

На інтервалі (0, 6), можна вибрати тестову точку x = 2. Підставимо це значення в f'(x):

f'(2) = 18(2) - 3(2)^2 = 36 - 12 = 24.

Так як f'(2) > 0, то на інтервалі (0, 6) функція f(x) є зростаючою.

На інтервалі (6, +∞), можна вибрати тестову точку x = 7. Підставимо це значення в f'(x):

f'(7) = 18(7) - 3(7)^2 = 126 - 147 = -21.

Так як f'(7) < 0, то на інтервалі (6, +∞) функція f(x) є спадною.

Отже, функція f(x) = 3 + 9x^2 - x^3 є спадною на інтервалі (-∞, 0) та (6, +∞), і зростає на інтервалі (0, 6).

Для функції f(x) = (1/3)x^3 - 4x:

Аналогічно, треба з'ясувати знаки похідної на інтервалах, де f'(x) = 0 або не існує.

Розв'яжемо рівняння f'(x) = 0:

(1/3)(3x^2) - 4 = 0.

Спростимо рівняння:

x^2 - 12 = 0.

Факторизуємо рівняння:

(x - √12)(x + √12) = 0.

Отримаємо два значення x: x = -√12 та x = √12.

Тепер треба з'ясувати знаки похідної на інтервалах (-∞, -√12), (-√12, √12) та (√12, +∞). Розглянемо кожен інтервал окремо:

На інтервалі (-∞, -√12), можна вибрати тестову точку x = -2. Підставимо це значення в f'(x):

f'(-2) = (1/3)(3(-2)^2) - 4 = 4 - 4 = 0.

Так як f'(-2) = 0, то на інтервалі (-∞, -√12) функція f(x) не має зміни нахилу та може бути або спадною, або зростаючою.

На інтервалі (-√12, √12), можна вибрати тестову точку x = 0. Підставимо це значення в f'(x):

f'(0) = (1/3)(3(0)^2) - 4 = -4.

Так як f'(0) < 0, то на інтервалі (-√12, √12) функція f(x) є спадною.

На інтервалі (√12, +∞), можна вибрати тестову точку x = 2. Підставимо це значення в f'(x):

f'(2) = (1/3)(3(2)^2) - 4 = 8 - 4 = 4.

Так як f'(2) > 0, то на інтервалі (√12, +∞) функція f(x) є зростаючою.

Отже, функція f(x) = (1/3)x^3 - 4x є спадною на інтервалі (-∞, -√12) та (-√12, √12), і зростає на інтервалі (√12, +∞).

Відповідь

Отже, проміжки монотонності функції f(x) = 3 + 9x^2 - x^3 є (-∞, 0) та (6, +∞), де функція спадає, і (0, 6), де функція зростає.

Проміжки монотонності функції f(x) = (1/3)x^3 - 4x є (-∞, -√12) та (-√12, √12), де функція спадає, і (√12, +∞), де функція зростає.

**Нагадую, що відповідь є при