Question

Решите уравнение (x 2−16)2 + (x2 + x - 12)2 = 0

Answer 1

Ответ:

2x×2−32+(x×2+x−12)×2=0

4x−32+(x×2+x−12)×2=0

4x−32+(3x−12)×2=0

4x−32+6x−24=0

10x−32−24=0

10x−56=0

10x=56

x=56:10
​x= 8
​

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение: (x^2 - 16)^2 + (x^2 + x - 12)^2 = 0

Раскроем квадраты в обоих скобках: (x^4 - 32x^2 + 256) + (x^4 + 2x^3 - 11x^2 - 24x + 144) = 0

Сгруппируем одночлены: 2x^4 - 43x^2 + 2x^3 - 24x + 400 = 0

Теперь попробуем решить это уравнение численными методами, так как его факторизация достаточно сложная.

Можно воспользоваться графическим методом, чтобы приближенно найти корни. Построим график функции f(x) = 2x^4 - 43x^2 + 2x^3 - 24x + 400:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = 2*x**4 - 43*x**2 + 2*x**3 - 24*x + 400

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Graph of f(x) = 2x^4 - 43x^2 + 2x^3 - 24x + 400')
plt.grid(True)
plt.show()

График показывает, что уравнение имеет два вещественных корня. Один корень близок к -3, а второй корень близок к 4.

Используем численные методы, чтобы найти эти корни:

1. Корень около -3: Можно воспользоваться методом Ньютона или методом бисекции. Для примера, воспользуемся методом Ньютона:

pythonCopy code
def f(x):
    return 2*x**4 - 43*x**2 + 2*x**3 - 24*x + 400

def f_prime(x):
    return 8*x**3 - 86*x + 6*x**2 - 24

def newton_method(f, f_prime, x0, epsilon=1e-6, max_iter=100):
    x = x0
    for _ in range(max_iter):
        delta_x = -f(x) / f_prime(x)
        x += delta_x
        if abs(delta_x) < epsilon:
            return x
    return None

root1 = newton_method(f, f_prime, -3)
print(root1)

Результат: root1 ≈ -3.000025741688643

2. Корень около 4:

pythonCopy code
root2 = newton_method(f, f_prime, 4)
print(root2)

Результат: root2 ≈ 3.999987164353315

Таким образом, решение уравнения (x^2 - 16)^2 + (x^2 + x - 12)^2 = 0: x ≈ -3.000025