Question

Б) Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, розбиває його на два трикутники з периметрами 8 см і 9 см. Знайти менший катет. допоможіть будь ласка ​

Answer 1

Ответ:

меньший катет равен 3 см

Пошаговое объяснение:

Пусть катеты а и b и гипотенуза с

Медиана прямоугольного треугольника равна с/2.

Значит а+с=8 и b+с=9

значит b-а=1

По теореме Пифагора

a^2+b^2=c^2

но

a^2-2ab+b^2=1

2ab=c^2-1

(a+b)^2=1+4ab=2c^2-1

a+b+2c=17

sqrt(2c^2-1)=17-2c

2c^2-1=289-68c+4c^2

0=290-68c+2c^2

c^2-34c+145=0

(c-17)^2=289-145=12^2

c=5  или с=29

но по смыслу с менньше 9.

Значит с=5 а=3, b=4 (египетский треугольник)

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі скористаємося властивістю прямокутних трикутників, що медіана, проведена до гіпотенузи, ділить його на два трикутники, подібні до вихідного трикутника.

Нехай менший катет має довжину х, а гіпотенуза має довжину у. Тоді за властивістю подібності трикутників маємо такі співвідношення між сторонами:

8/9 = х/у

З цього виразу можемо знайти вираз для у:

у = 9х/8

Тепер скористаємося теоремою Піфагора для прямокутного трикутника:

х^2 + у^2 = г^2

Підставляючи вираз для у, маємо:

х^2 + (9х/8)^2 = г^2 х^2 + 81х^2/64 = г^2 (64х^2 + 81х^2)/64 = г^2 145х^2/64 = г^2 г = √(145х^2/64)

Таким чином, менший катет має довжину х, яку можна знайти, підставляючи значення гіпотенузи у = 9х/8 у вираз для г:

г = √(145х^2/64)

Отже, розв'язавши цей квадратний рівняння, знайдемо значення меншого катета.