Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x y=1/3x²​

Answer 1

Ответ:

3/2

Пошаговое объяснение:

Графики выглядят следующим образом (во вложениях)

Тогда закрашенная площадь и есть искомая, найти её можно при помощи интеграла:

$\int\limits^b_a{(f_2(x) - f_1(x))} \, dx$

Здесь f2(x) - это верхняя функция, а f1(x) - нижняя

$\int\limits^3_0 {x - \frac{x^2}{3} } \, dx = \int\limits^3_0 {x} \, dx - \frac{1}{3} \int\limits^3_0 {x^2} \, dx = \frac{x^2}{2} \left\right]_0^3 - \frac{x^3}{9} \left\right]_0^3=\\ \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x и y = (1/3)x², мы должны определить точки пересечения этих двух графиков. Затем мы можем использовать интеграл, чтобы найти площадь между этими двумя кривыми.

Нахождение точек пересечения:

Для начала, найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = (1/3)x², приравняв их:

x = (1/3)x²

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

3x = x²

Теперь перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:

x² - 3x = 0

Факторизуем это уравнение:

x(x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть два значения x: x = 0 и x = 3.

Нахождение площади:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x и y = (1/3)x², нужно проинтегрировать разность этих двух функций по переменной x в пределах от x = 0 до x = 3:

S = ∫[0,3] (x - (1/3)x²) dx

Выполним интегрирование:

S = [x²/2 - (1/9)x³/3] [0,3]

S = [(3²/2 - (1/9)3³/3) - (0²/2 - (1/9)0³/3)]

S = [(9/2 - 9/9) - (0/2 - 0/9)]

S = [(9/2 - 1) - (0 - 0)]

S = [9/2 - 1]

S = 7/2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x и y = (1/3)x², равна 7/2 или 3.5 квадратных единицы.