Question

докажите что произвольная с1 и с2 функция. y=c1cos5x+c2sin5x является решением дифференциального уравнения y''+25y=0​

Answer 1

y'=-5c1sin5x+5c2cos5x
y''=-25c1cos5x-25c2sin5x
y''+25y=-25c1cos5x-25c2sin5x+24c1cos5x+25c2sin5x=0

Answer 2

Для доказательства того, что функция y = c1cos(5x) + c2sin(5x) является решением дифференциального уравнения y'' + 25y = 0, мы должны продемонстрировать, что она удовлетворяет этому уравнению.

Для начала, давайте найдем первую и вторую производные функции y.

y' = -5c1sin(5x) + 5c2cos(5x) (по правилу дифференцирования синуса и косинуса) y'' = -25c1cos(5x) - 25c2sin(5x) (по правилу дифференцирования синуса и косинуса)

Теперь, заменяя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получим:

y'' + 25y = (-25c1cos(5x) - 25c2sin(5x)) + 25(c1cos(5x) + c2sin(5x)) = -25c1cos(5x) - 25c2sin(5x) + 25c1cos(5x) + 25c2sin(5x) = 0

Таким образом, мы получили, что y'' + 25y = 0, что означает, что функция y = c1cos(5x) + c2sin(5x) является решением данного дифференциального уравнения.

Таким образом, доказано, что произвольная функция y = c1cos(5x) + c2sin(5x), где c1 и c2 - произвольные постоянные, является решением дифференциального уравнения y'' + 25y = 0.