Question

Устройство состоит элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найтн математическое ожиданне числа таких опытов, в каждом из которых отважет ровно M элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.

Answer 1

Устройство состоит из к элементов. Вероятность отказа любого

элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно M элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.

Решение

Речь о повторных испытаниях, и, скорее всего, устройство состоит из  к  элементов, тогда если вероятность отказа любого элемента в одном опыте равна р, то вероятность того, что элемент не откажет в одном опыте, равна q=1-р,

если обозначить через Х число опытов, в каждом из которых  откажет ровно М элементов, и т.к. произведено всего N опытов, то вероятность отказа  ровно М элементов в одном опыте можно найти по формуле Бернулли. пусть С(к, М)- это число сочетаний из к элементов по М, тогда  такая вероятность равна С(к, М)*р^M*(q^(k-M), а математическое ожидание числа таких опытов равно

М(X)=N*С(к, М)*р^M*(q^(k-M), т.к. предполагается, что опыты независимы один от другого

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением. Пусть X - случайная величина, обозначающая количество опытов, в каждом из которых отказало ровно M элементов. Распределение X будет биномиальным распределением с параметрами N (количество опытов) и p (вероятность отказа любого элемента за время опыта).

Математическое ожидание случайной величины X вычисляется по формуле: E(X) = N * p

Таким образом, математическое ожидание числа опытов, в каждом из которых отказало ровно M элементов, равно N * p.