Question

Lim x-->0 sin2x+sin3x/2x Очень срочно надо​

Answer 1

Ответ:

1. Преобразуем числитель по формуле сумма синусов:

sin(3x) + sin(x)=2 * sin(2x) * cos(x) = ...

2. sin(2x) распишем как синус двойного угла:

... = 2 * 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x) = 4 * sin(x) * cos^2(x)

3. Возвращаемся к пределу. Переписываем числитель в преобразованном виде и сокращаем числитель и знаменатель на 2:

lim(x->0)(4 * sin(x) * cos^2(x)/2x) = lim(x->0)(2 * sin(x) * cos^2(x)/x)

4. По основному тригонометрическому тождеству запишем cos^2(x) как 1-sin^2(x)

5. Так как х->0, то произведём эквивалентности: sin(x)~x, sin^2(x)~x^2, затем подставим их в предел и сократим на х:

lim(x->0)(2x(1-x^2)/x)=lim(x->0)(2-2x^2)

6. Вычисляем предел, полагая х=0:

lim(x->0)(2-2x^2)=lim(x->0)(2-2* 0^2)=lim(x->0)(2-0)=2

Ответ: 2.

Answer 2

Когда $x$ стремится к нулю, мы можем использовать некоторые математические приближения, чтобы найти предел данного выражения. Давайте разберемся подробнее.

Приближение синуса:

Мы можем использовать приближение $\sin(x) \approx x$ для малых значений $x$. Это называется линейным приближением синуса. В данном случае, так как $x$ стремится к нулю, мы можем использовать это приближение для $\sin(2x)$ и $\sin(3x)$.

Приближение деления:

Мы также можем использовать приближение $\frac{\sin(x)}{x} \approx 1$ для малых значений $x$. Это называется линейным приближением деления. В данном случае, так как $x$ стремится к нулю, мы можем использовать это приближение для $\frac{\sin(2x)}{2x}$ и $\frac{\sin(3x)}{3x}$.

Подстановка приближений:

Теперь мы можем подставить наши приближения в исходное выражение: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) + \sin(3x)}{2x}$$

Заменяя $\sin(2x)$ и $\sin(3x)$ на $2x$ и $3x$ соответственно, и $\frac{\sin(2x)}{2x}$ и $\frac{\sin(3x)}{3x}$ на $1$, мы получаем: $$\lim_{x \to 0} \frac{2x + 3x}{2x}$$

Упрощая выражение, получаем: $$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{2x}$$

Вычисление предела:

Теперь мы можем вычислить предел: $$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2}$$

Таким образом, предел данного выражения при $x$ стремящемся к нулю равен $\frac{5}{2}$.

Ответ: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) + \sin(3x)}{2x} = \frac{5}{2}$.