Question

Вычислить неопределенный интеграл sinzdz/2-cosz

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\int\limits ({\frac{sin z}{2}-cosz) } \, dz = -\frac{cos z}{2}-sin z + C$

Answer 2

Для вычисления неопределенного интеграла ∫(sin(z)/(2-cos(z))) dz, где z является переменной интегрирования, мы можем использовать метод подстановки.

Давайте начнем с введения новой переменной u = tan(z/2). Затем мы можем выразить sin(z) и cos(z) через u, используя тригонометрические тождества:

sin(z) = 2u/(1+u^2) cos(z) = (1-u^2)/(1+u^2)

Теперь давайте выразим dz через du. Для этого мы можем воспользоваться формулой для производной тангенса:

dz = 2 du / (1+u^2)

Теперь мы можем заменить sin(z), cos(z) и dz в исходном интеграле:

∫(sin(z)/(2-cos(z))) dz = ∫((2u/(1+u^2))/(2-(1-u^2)/(1+u^2))) * (2 du / (1+u^2)) = ∫(2u/(1+u^2)) * ((1+u^2)/(3-u^2)) * (2 du / (1+u^2)) = 4 ∫(u/(3-u^2)) du

Теперь мы можем разделить числитель и знаменатель на 3 и заменить u^2 на t:

4 ∫(u/(3-u^2)) du = 4/3 ∫(1/(3/t-1)) dt

Мы можем выразить 1/(3/t-1) как разность двух простых дробей:

1/(3/t-1) = (1/2) * (1/(t-1) + 1/(t+3))

Теперь мы можем разбить интеграл на две части:

4/3 ∫(1/(3/t-1)) dt = 4/3 * (1/2) * ∫(1/(t-1)) dt + 4/3 * (1/2) * ∫(1/(t+3)) dt = 2/3 ln|t-1| + 2/3 ln|t+3| + C

Наконец, мы можем заменить t обратно на u^2 и подставить обратные выражения для sin(z) и cos(z):

2/3 ln|t-1| + 2/3 ln|t+3| + C = 2/3 ln|u^2-1| + 2/3 ln|u^2+3| + C = 2/3 ln|tan(z/2)^2-1| + 2/3 ln|tan(z/2)^2+3| + C

Вот итоговое выражение для неопределенного интеграла ∫(sin(z)/(2-cos(z))) dz:

∫(sin(z)/(2-cos(z))) dz = 2/3 ln|tan(z/2)^2-1| + 2/3 ln|tan(z/2)^2+3| + C

где C - произвольная постоянная.