Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x−x2y=2x−x2 и Осью Ох. (если в ответе дробь, то ответ укажите в виде десятичной дроби, через запятую, округлив до сотых)​

Answer 1

Ответ:

Шаг 1: находим координаты х точек перечечения графиков y=x^2+1 и y=-x+3.

x^2+1 = -x+3; x^2+x-2 = 0; x1 = -2; x2 = 1.

Шаг 2: Находим определенный интеграл функции y = -x+3 в пределах от -2 до 1.

Первообразная этой функции будет Y = -1/2*x^2 + 3x + С

Подставляя пределы интегрирования получаем площадь под функцией S1 = -1/2 + 3 + 2 + 6 = 10,5.

Шаг 3: Находим определенный интеграл функции y = x^2+1 в пределах от -2 до 1.

Первообразная этой функции будет Y = 1/3*x^3 + x + С

Подставляя пределы интегрирования получаем площадь под функцией S2 = 1/3 + 1 + 8/3 +2 = 6.

Шаг 4: S = S1-S2; S = 10,5-6; S = 4,5.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=2x−x^2 и осью Ох, мы можем использовать метод интегрирования.

Определение границ интегрирования

Для начала, нам нужно определить границы интегрирования. Фигура ограничена линиями y=2x−x^2 и осью Ох. Чтобы найти границы интегрирования, мы должны найти точки пересечения этих двух кривых.

Уравнение y=2x−x^2 задает параболу, которая пересекает ось Ох в точках, где y=0. Подставим y=0 в уравнение и решим его относительно x:

0 = 2x - x^2

x^2 - 2x = 0

x(x - 2) = 0

x = 0 или x = 2

Таким образом, границы интегрирования будут x=0 и x=2.

Вычисление площади

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x−x^2 и осью Ох, можно найти с помощью определенного интеграла:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - границы интегрирования, f(x) - верхняя функция (в данном случае y=2x−x^2), g(x) - нижняя функция (в данном случае ось Ох).

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

S = ∫[0,2] (2x - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [x^2 - (x^3)/3] |[0,2]

S = (2^2 - (2^3)/3) - (0^2 - (0^3)/3)

S = (4 - 8/3) - (0 - 0/3)

S = (12/3 - 8/3) - 0

S = 4/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x−x^2 и осью Ох, равна 4/3 или примерно 1.33 (округлено до сотых).