Question

Найти полный дифференциал функции двух переменных z=y^ln(x)

Answer 1

Ответ:

$dz = {y}^{ ln(x) } ln(y) \frac{1}{x} dx + ln(x) \times {y}^{ ln(x) - 1} dy$

Пошаговое объяснение:

Формула полного дифференциала:

$dz = \frac{df}{dx} dx + \frac{df}{dy}dy$

Считаем производные функции по х и у, домножаем соответственно на dx и dy, складываем и получаем полный дифференциал.

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции двух переменных \( z = y^{\ln(x)} \) мы можем воспользоваться формулой для нахождения полного дифференциала функции. Полный дифференциал функции двух переменных можно представить в виде:

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy \]

где \( \frac{\partial z}{\partial x} \) и \( \frac{\partial z}{\partial y} \) обозначают частные производные функции \( z \) по переменным \( x \) и \( y \) соответственно.

Нахождение частных производных

Для начала найдем частные производные функции \( z = y^{\ln(x)} \) по переменным \( x \) и \( y \).

Частная производная по \( x \)

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y^{\ln(x)}) \]

Для нахождения этой производной, мы можем воспользоваться правилом цепочки и логарифмическим дифференцированием.

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y^{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} \cdot \ln(y) \]

Частная производная по \( y \)

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y^{\ln(x)}) \]

Снова воспользуемся правилом цепочки.

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \ln(x) \cdot y^{\ln(x) - 1} \]

Полный дифференциал

Теперь, когда у нас есть частные производные, мы можем подставить их в формулу для полного дифференциала.

\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy \] \[ dz = (y^{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} \cdot \ln(y))dx + (\ln(x) \cdot y^{\ln(x) - 1})dy \]

Это выражение представляет полный дифференциал функции \( z = y^{\ln(x)} \) по переменным \( x \) и \( y \).