Question

Всем привет)Найти частные производные функции двух переменных и полный дифференциал функции.

Answer 1

Вычислим частную производную по $x$, то есть аргумент $y$ считаем как константу.

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =-2\sin\bigg(2x+ \dfrac{3}{y^4}\bigg)$

Найдем частную производную по $y$, при этом считаем аргумент $x$ как $Const$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{12}{y^5} \sin\bigg(2x+ \frac{3}{y^4} \bigg)$

Полный дифференциал функции:

$dz= \dfrac{\partial z}{\partial x} dx+ \dfrac{\partial z}{\partial y} dy=\bigg(-2\sin\bigg(2x+ \dfrac{3}{y^4} \bigg)\bigg)dx+\bigg(\dfrac{12}{y^5} \sin\bigg(2x+ \dfrac{3}{y^4} \bigg)\bigg)dy$

Answer 2

$z=cos(2x+ \frac{3}{y^4} )\\ dz= \frac{\partial z}{\partial x} *dx+ \frac{\partial z}{\partial y} *dy \\ \frac{\partial z}{\partial x} = z_x' =-2sin(2x+ \frac{3}{y^4})\\ \frac{\partial z}{\partial y} = z_y' =-sin(2x+\frac{3}{y^4})*(\frac{-12}{y^5})=\frac{12}{y^5}*sin(2x+\frac{3}{y^4})\\ \\ dz=-2sin(2x+ \frac{3}{y^4})dx+\frac{12}{y^5}*sin(2x+\frac{3}{y^4})dy$