Question

Известно что x1 и x2 -корни уравнения x^2+10x+5=0.Не решая уравнения, найдите значение выражения x^2 1+x^2 2.

Answer 1

$x^2+10x+5=0$

это уравнение вида $x^2+px+q=0$ , где p=10, q=5

по теореме Виета:

$\left \{ {{x_1+x_2=-p} \atop {x_1*x_2=q}} \right.$

из первого уравнения системы имеем:

$(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 = p^2$

$x_1^2 + x_2^2 = p^2-2x_1x_2$

из второго уравнения системы имеем:

$-2x_1x_2 = -2q$

тогда:

$x_1^2 + x_2^2 = p^2-2x_1x_2 = p^2-2q$

в нашем случае p=10, q=5, тогда:

$x_1^2 + x_2^2 = p^2-2q = 10^2 -2*5 = 90$

Ответ: 90

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства корней квадратного уравнения.

Дано, что x1 и x2 являются корнями уравнения x^2 + 10x + 5 = 0.

Свойство 1: Сумма корней квадратного уравнения равна отрицательному коэффициенту при x, деленному на коэффициент при x^2. В данном случае, сумма корней равна -10/1 = -10.

Свойство 2: Произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену, деленному на коэффициент при x^2. В данном случае, произведение корней равно 5/1 = 5.

Теперь мы можем использовать эти свойства, чтобы найти значение выражения x^2 + 1/x^2 + 2.

Давайте рассмотрим это выражение по частям:

x^2 + 1/x^2 + 2 = (x^2 + 1) / x^2 + 2

Мы можем заметить, что (x^2 + 1) является суммой квадрата корней квадратного уравнения. Из свойства 1 мы знаем, что сумма корней равна -10, поэтому (x^2 + 1) = (-10)^2 + 1 = 101.

Теперь мы можем подставить это значение обратно в исходное выражение:

(x^2 + 1/x^2 + 2) = (101 / x^2) + 2

Исходя из свойства 2, мы знаем, что произведение корней равно 5, поэтому x1 * x2 = 5. Тогда x^2 = (x1 * x2)^2 = 5^2 = 25.

Теперь мы можем подставить это значение обратно в выражение:

(101 / x^2) + 2 = (101 / 25) + 2 = 4.04 + 2 = 6.04

Таким образом, значение выражения x^2 + 1/x^2 + 2 равно 6.04.