Question

2.Розв'яжіть рівняння y'=6, якщо y=1/3x3 + 2x2 - 15x+7.

Answer 1

Решить уравнение y'=6, если y=(1/3)x^3+2x^2-15x+7.

Ответ:

$\Large \boldsymbol {}x_1=3\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_2=(-7)$

Пошаговое объяснение:

Правила нахождения производных, которые будут использоваться:

$\LARGE \boldsymbol {}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{6-10} f(x)&f(x)\±g(x)&x^{n} &x&c \cline{6-10} f'(x)& f'(x)\±g'(x)&nx^{n-1} &1&0 \cline{6-10} \end{array}$

где х - переменная, с - постоянная.

Найдём производную функции:

$\large \boldsymbol {} y=\frac{1}{3} x^{3} +2x^{2} -15x+7\\\\y '=(\frac{1}{3} x^{3} +2x^{2} -15x+7)'=(\frac{1}{3} x^{3})'+(2x^{2})-(15x)'+(7)'=\\\\=\frac{1}{3}* 3x^{3-1}+2*2x^{2-1} -15*1+0=x^{2} +4x-15$

Записываем уравнение, которое нужно решить:

$\large \boldsymbol {} y'=6\\\\x^{2} +4x-15=6\\\\x^{2} +4x-21=0$

Имеем квадратное уравнение. Решаем по дискриминанту:

$\large \boldsymbol{} \displastyle D=b^{2} -4ac\\\\a=1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:b=4\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:c=(-21)\\\\D=4^{2} -4*1*(-21)=16+84=100\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{-4+\sqrt{100} }{2*1} =\frac{-4+10}{2} =3\\\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{-4-\sqrt{100} }{2*1} =\frac{-4-10}{2} =(-7)$

Answer 2

Щоб розв'язати це рівняння, спочатку треба знайти похідну від функції y відносно x (y'). Потім прирівняти його до 6 і знайти значення x, яке задовольняє це рівняння.

1. Знайдемо похідну від функції y = (1/3)x^3 + 2x^2 - 15x + 7. Для цього треба взяти похідну кожного доданка окремо. Похідна від (1/3)x^3 дорівнює (1/3) * 3x^2 = x^2. Похідна від 2x^2 дорівнює 2 * 2x = 4x. Похідна від -15x дорівнює -15. Похідна від 7 дорівнює 0.

Тепер складемо ці похідні разом, щоб отримати похідну функції y: y' = x^2 + 4x - 15.

2. Прирівняємо похідну до 6 і розв'яжемо це рівняння: x^2 + 4x - 15 = 6.

Перенесемо всі доданки на одну сторону рівняння: x^2 + 4x - 15 - 6 = 0, x^2 + 4x - 21 = 0.

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Є кілька способів це зробити, один з них - за допомогою факторизації або за допомогою квадратного кореня.

Метод факторизації: Розкладемо 21 на множники, такі що їх сума буде 4: (x + 7)(x - 3) = 0.

Застосуємо правило нульового множення: x + 7 = 0 або x - 3 = 0.

Розв'яжемо ці два рівняння: x = -7 або x = 3.

Отже, рівняння y' = 6 має два розв'язки: x = -7 та x = 3.