Question

Дано уравнение 3x^2-18x+3=0. Не решая уравнения, вычислить ab^2-a^2b где a, b - корни уравнения.

Answer 1

Ответ:

$4\sqrt{2}$

Пошаговое объяснение:

Теорема Виета. Если в квадратном уравнении $ax^2+bx+c=0$ корни $x_1$ и $x_2$, то верны равенства

$\displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}} \atop {x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}} \right.$

Для нашего уравнения

$3x^2-18x+3=0$, $a$ и $b$ - корни. Тогда

$a+b=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-18}{3}=6$

$a\cdot b=\dfrac{c}{a}=\dfrac33=1$

Преобразуем выражение, которое нам необходимо вычислить

$ab^2-a^2b=ab\cdot(a-b)$

Давайте посчитаем чему равно $(a+b)^2$

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

Мы можем выразить $a^2+b^2$

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

Затем значение этого выражения использовать в $(a-b)^2$

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=(a+b)^2-4ab$

Тогда можно выразить $(a-b)$

$a-b=\sqrt{(a+b)^2-4ab}$

Найдем наконец значение нашего выражения

$ab^2-a^2b=ab\cdot(a-b)=ab\cdot\sqrt{(a+b)^2-4ab}=1\cdot\sqrt{6^2-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

Answer 2

Для данного уравнения 3x^2 - 18x + 3 = 0, сначала найдем его корни, а затем подставим их значения в выражение ab^2 - a^2b.

Найдем корни уравнения: Для этого воспользуемся формулой дискриминанта и квадратным корнем.

Дискриминант (D) можно вычислить по формуле: D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = -18, c = 3.

D = (-18)^2 - 4 * 3 * 3 D = 324 - 36 D = 288

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня.

Корни (x) могут быть найдены с помощью формулы: x = (-b ± √D) / (2a).

x = (-(-18) ± √288) / (2 * 3) x = (18 ± 16.97) / 6

Таким образом, корни уравнения равны: x1 ≈ (18 + 16.97) / 6 ≈ 5.99 x2 ≈ (18 - 16.97) / 6 ≈ 0.17

Теперь подставим значения корней в выражение ab^2 - a^2b:

a = 5.99, b = 0.17

ab^2 - a^2b = (5.99 * 0.17^2) - (5.99^2 * 0.17) ≈ (5.99 * 0.0289) - (35.88 * 0.17) ≈ 0.173711 - 6.0976 ≈ -5.923889

Ответ: ab^2 - a^2b ≈ -5.923889.