Question

Число 2014!=1×2×3×4×....X 2013 x 2014 записали у формі добутку простих чисел.Скільки записали число 2?

Answer 1

Ответ:

Число 2 в 2014! равен 2005

Пошаговое объяснение:

Перевод:

Число 2014!=1·2·3·4·...·2013·2014 записали в форме произведения простых чисел. Сколько записали число 2?

Нужно знать:

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени определяемой следующей формулой:

$\displaystyle \tt \left [\frac{n}{p} \right ] +\left [\frac{n}{p^2} \right ] +\left [\frac{n}{p^3} \right ] +...+\left [\frac{n}{p^k} \right ] +...,$

где [a] означает целую часть числа а.

Решение. Так как 2¹⁰ = 1024 и 2¹¹ = 2048, то

$\displaystyle \tt \left [\frac{2014}{2^{10}} \right ] = \left [\frac{2014}{1024} \right ] =1, \;\; \left [\frac{2014}{2^{11}} \right ] =\left [\frac{2014}{2048}} \right ] =0.$

Поэтому в сумме достаточно рассмотреть степень 2 до 11 (начиная с этой степени все последующие слагаемые равны 0).

Число 2 в 2014! равен:

$\displaystyle \tt \left [\frac{2014}{2} \right ] +\left [\frac{2014}{2^2} \right ] +\left [\frac{2014}{2^3} \right ] +\left [\frac{2014}{2^4} \right ] +\left [\frac{2014}{2^5} \right ]+\left [\frac{2014}{2^6} \right ]+\left [\frac{2014}{2^7} \right ]+\\\\+\left [\frac{2014}{2^8} \right ]+\left [\frac{2014}{2^9} \right ]+\left [\frac{2014}{2^{10}} \right ]=$

$\displaystyle \tt =\left [\frac{2014}{2} \right ] +\left [\frac{2014}{4} \right ] +\left [\frac{2014}{8} \right ] +\left [\frac{2014}{16} \right ] +\left [\frac{2014}{32} \right ]+\left [\frac{2014}{64} \right ]+\left [\frac{2014}{128} \right ]+\\\\+\left [\frac{2014}{256} \right ]+\left [\frac{2014}{512} \right ]+\left [\frac{2014}{1024}} \right ]=$

=1007+503+251+125+62+31+15+7+3+1=2005.

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти, скільки разів число 2 зустрічається в розкладі числа 2014!, потрібно врахувати кількість множників, які містять множники 2.

Кількість множників 2 в розкладі числа 2014! залежить від кількості чисел, які є степенями 2. У числі 2014, кожне друге число є степенем 2. Таким чином, ми можемо порахувати кількість таких чисел, поділивши 2014 на 2:

2014 ÷ 2 = 1007

Отже, у числі 2014! є 1007 чисел, які є степенями 2.

Однак, це ще не враховує всі числа, які можуть містити множник 2. Деякі числа можуть містити більше одного множника 2. Наприклад, число 8 містить три множники 2: 8 = 2 × 2 × 2. Щоб врахувати це, ми можемо поділити 2014 на 2^2 = 4:

2014 ÷ 4 = 503

Отже, у числі 2014! є 503 числа, які містять два множники 2.

Продовжуючи аналогічно, ми можемо поділити 2014 на 2^3 = 8:

2014 ÷ 8 = 251

Отже, у числі 2014! є 251 чисел, які містять три множники 2.

Продовжуючи цей процес, ми знайдемо, скільки чисел містять більше множників 2. Зауважте, що коли ми доходимо до певної степені 2, поділити число 2014 на більшу степінь не буде давати жодних цілих значень.

Таким чином, сумуючи всі кількості, отримуємо:

1007 + 503 + 251 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 2005

Отже, число 2 зустрічається 2005 разів у розкладі числа 2014!.