Question

Представить заданное комплексное число в алгебраической форме: (-1) ^ (1/4)Попроще и с объяснениями пожалуйста

Answer 1

Ответ и Пошаговое объяснение:

Нужно знать: Если число z представлен в тригонометрической форме

$\tt z = |z| \cdot (cos\alpha +i \cdot sin\alpha ),$

то корень n - ой степени определяется по формулам

$\tt (\sqrt[n]{z})_m = \sqrt[n]{|z|} \cdot (cos\dfrac{\alpha+2 \cdot \pi \cdot m}{n} +i \cdot sin\dfrac{\alpha+2 \cdot \pi \cdot m}{n} ),\\\\m=0, 1,2,...,n-1.$

Решение.

Сначала представим число -1 в тригонометрической форме:

$\tt -1 = |-1| \cdot (cos\pi +i \cdot sin\pi).$

Тогда

$\displaystyle \tt (\sqrt[4]{-1})_0 = \sqrt[4]{|-1|} \cdot (cos\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 0}{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 0}{4} )=\\\\= 1 \cdot (cos\dfrac{\pi }{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi }{4} )=\frac{\sqrt{2} }{2} +i \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} ;$

$\displaystyle \tt (\sqrt[4]{-1})_1 = \sqrt[4]{|-1|} \cdot (cos\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 1}{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 1}{4} )=\\\\= 1 \cdot (cos\dfrac{3 \cdot \pi }{4} +i \cdot sin\dfrac{3 \cdot \pi }{4} )=-\frac{\sqrt{2} }{2} +i \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} ;$

$\displaystyle \tt (\sqrt[4]{-1})_2 = \sqrt[4]{|-1|} \cdot (cos\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 2}{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 2}{4} )=\\\\= 1 \cdot (cos\dfrac{5 \cdot \pi }{4} +i \cdot sin\dfrac{5 \cdot \pi }{4} )=-\frac{\sqrt{2} }{2} -i \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} ;$

$\displaystyle \tt (\sqrt[4]{-1})_3 = \sqrt[4]{|-1|} \cdot (cos\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 3}{4} +i \cdot sin\dfrac{\pi +2 \cdot \pi \cdot 3}{4} )=\\\\= 1 \cdot (cos\dfrac{7 \cdot \pi }{4} +i \cdot sin\dfrac{7 \cdot \pi }{4} )=\frac{\sqrt{2} }{2} -i \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} .$

#SPJ1

Answer 2

Чтобы представить заданное комплексное число в алгебраической форме, мы должны выразить его в виде a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица.

Для решения этой задачи, мы начнем с того, что выразим -1 в тригонометрической форме. Заметим, что -1 = cos(π) + i*sin(π), где π - пи (или 180 градусов).

Затем, мы возводим это выражение в степень 1/4. При возведении в степень, мы используем формулу де Муавра, которая гласит:

(z^n) = |z|^n * [cos(nθ) + i*sin(nθ)],

где z = cos(θ) + i*sin(θ) - комплексное число в тригонометрической форме, n - степень.

Применяя формулу де Муавра, мы получаем:

(-1)^(1/4) = |cos(π) + isin(π)|^(1/4) * [cos((1/4) * π) + isin((1/4) * π)].

Выражение |cos(π) + i*sin(π)| = |(-1)| = 1, так как модуль от -1 равен 1.

Теперь мы можем упростить наше выражение:

(-1)^(1/4) = 1^(1/4) * [cos((1/4) * π) + i*sin((1/4) * π)].

Так как 1 в любой степени равно 1, мы можем далее упростить:

(-1)^(1/4) = cos((1/4) * π) + i*sin((1/4) * π).

Таким образом, заданное комплексное число (-1)^(1/4) представлено в алгебраической форме как cos((1/4) * π) + i*sin((1/4) * π).