Question

Дано: sin α = ‒ 7/25 ; cos β = -0,6 ; 3π/2 < α < 2π ; π/2 < β < π . Найти: sin(α+β).

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Так как $\dfrac{3\pi }{2} < \alpha < 2\pi$, то угол $\alpha$ принадлежит 4 четверти, где косинус положителен. Получим:

$\cos\alpha =\sqrt{1-\sin^2\alpha } =\sqrt{1-\left(-\dfrac{7}{25}\right)^2 } =\dfrac{24}{25}$

Так как $\dfrac{\pi }{2} < \beta < \pi$, то угол $\beta$ принадлежит 2 четверти, где синус положителен. Получим:

$\sin\beta =\sqrt{1-\cos^2\beta } =\sqrt{1-(-0.6)^2 } =0.8$

Формула синуса суммы:

$\sin(\alpha +\beta )=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta$

Подставляем все значения:

$\sin(\alpha +\beta )=-\dfrac{7}{25}\cdot(-0.6)+\dfrac{24}{25} \cdot0.8=\dfrac{7}{25}\cdot\dfrac{3}{5} +\dfrac{24}{25} \cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{21}{125} +\dfrac{96}{125} =\dfrac{117}{125}$

Ответ: 117/125

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобятся две формулы:

1. Формула сложения синусов: sin(α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β.

2. Тригонометрические соотношения для определения cos α и sin β:

   cos α = ± √(1 - sin² α),

   sin β = ± √(1 - cos² β).

Исходя из данных, у нас есть значения sin α и cos β, поэтому мы можем найти cos α и sin β.

sin α = -7/25, cos β = -0,6.

Теперь найдем cos α:

cos α = ± √(1 - sin² α) = ± √(1 - (-7/25)²) = ± √(1 - 49/625) = ± √(576/625) = ± (24/25).

Так как α находится во втором и третьем квадрантах, то cos α = -24/25.

Аналогично, найдем sin β:

sin β = ± √(1 - cos² β) = ± √(1 - (-0,6)²) = ± √(1 - 0,36) = ± √(0,64) = ± 0,8.

Так как β находится во втором квадранте, то sin β = 0,8.

Теперь, используя формулу сложения синусов, мы можем найти sin(α+β):

sin(α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β = (-7/25) * (-0,6) + (-24/25) * (0,8) = 0,168 + (-0,768) = -0,6.

Таким образом, sin(α+β) = -0,6.