Question

F(x) = 2/√x , y = 0, x = 1, x = 4. знайти площу фігури , обмеженою лініями ​

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=2/√x и линиями у=0, х=1, х=4 равна 4 квадратных единицы.

Пошаговое объяснение:

Фигура, ограниченная непрерывной, неотрицательной функцией вида y=f(x), осью абсцисс (прямой у=0) и прямыми x=a, x=b называется криволинейной трапецией.

В нашем случае фигура - криволинейная трапеция, f(x) = 2/√x, a=1, b=4. Её площадь - значение определённого интеграла функции f(x) от a до b.

Записываем и решаем определённый интеграл применяя формулу Ньютона-Лейбница.

$\displaystyle \int\limits^4_1 {\frac{2}{\sqrt{x} } } \, dx = 2\cdot\int\limits^4_1 {\frac{1}{\sqrt{x} } } \, dx =2\cdot\int\limits^4_1 {x^{-\frac{1}{2}} } \, dx = 2\cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1 }}{-\frac{1}{2}+1 } \ \Bigg|^4_1 =2\cdot \frac{x^{\frac{1}{2} }}{\frac{1}{2} } \ \Bigg|^4_1 = \\\\ =2\cdot \frac{2}{1}\cdot \sqrt{x} \ \Bigg|^4_1 = 4\sqrt{x} \ \Bigg|^4_1 = 4\cdot \sqrt{4}- \big(4\cdot \sqrt{1})= 4\cdot 2- 4\cdot 1=8-4=4\ \text{ed}^2$

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=2/√x и линиями у=0, х=1, х=4 равна 4 квадратных единицы.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими лініями, нам потрібно обчислити відповідну інтегральну суму. Задана функція F(x) = 2/√x на інтервалі [1, 4]. Площу фігури можна знайти як інтеграл від функції F(x) по вісі x на цьому інтервалі, тобто:

Площа = ∫[1,4] F(x) dx

Для обчислення цього інтегралу, розкладемо функцію F(x) на неперервні частини відповідно до зміни значень x. Ми маємо дві частини:

F(x) = 2/√x, 1 ≤ x ≤ 4 F(x) = 0, x = 0

Тому площа фігури обмеженою лініями y = 0, x = 1 та x = 4 дорівнює:

Площа = ∫[1,4] (2/√x) dx

Щоб розв'язати цей інтеграл, виконаємо його обчислення:

Площа = 2∫[1,4] x^(-1/2) dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

Площа = 2 [2√x] [1,4] = 4 (√4 - √1) = 4 (2 - 1) = 4

Таким чином, площа фігури, обмеженої лініями y = 0, x = 1 та x = 4, дорівнює 4 квадратним одиницям.