Question

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y=x^2, y=6x-x^2. ❤❤❤

Answer 1

См фото
==========================

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = x^2 та y = 6x - x^2, ми можемо використати метод інтегрування. Цей метод дозволяє знайти площу під кривою, обмеженою двома функціями.

Знайдемо точки перетину кривих:

1. Поставимо рівняння y = x^2 та y = 6x - x^2 на рівність один одному: x^2 = 6x - x^2 2. Перенесемо все в одну частину: 2x^2 - 6x = 0 3. Факторизуємо: 2x(x - 3) = 0 4. Отримуємо дві можливі значення x: x = 0 або x = 3

Таким чином, криві y = x^2 та y = 6x - x^2 перетинаються в точках (0, 0) та (3, 9).

Знайдемо площу фігури:

Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими двома кривими, ми можемо обчислити інтеграл від різниці цих функцій за межами від x = 0 до x = 3.

Площа фігури S може бути обчислена за формулою: S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

де a та b - межі інтегрування, f(x) - верхня функція, g(x) - нижня функція.

У нашому випадку, f(x) = 6x - x^2 та g(x) = x^2.

Тому, площа фігури S може бути обчислена як: S = ∫[0, 3] (6x - x^2 - x^2) dx.

Обчислення інтегралу:

Щоб обчислити цей інтеграл, ми можемо використати правило інтегрування та обчислити антипохідну функції 6x - x^2 - x^2.

Антипохідна функції 6x - x^2 - x^2 дорівнює 2x^3 - x^4 - (1/3)x^3 = (5/3)x^3 - x^4.

Тому, площа фігури S може бути обчислена як: S = [(5/3)x^3 - x^4] [0, 3].

Обчислення площі:

Підставимо верхню та нижню межі інтегрування в формулу: S = [(5/3)(3)^3 - (3)^4] - [(5/3)(0)^3 - (0)^4].

Обчислимо це: S = [(5/3)(27) - (81)] - [(5/3)(0) - (0)].

S = [45 - 81] - [0 - 0].

S = -36.

Отже, площа фігури, обмеженої кривими y = x^2 та y = 6x - x^2, дорівнює -36.

[[1]]