Question

Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой x= -12 в два раза больше расстояния до точки F(-3,0)​

Answer 1

Ответ:

Точки F_1 , и F_2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2c=F_1F_2 - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром эллипса, число 2a - длиной большой оси эллипса (соответственно, число a - большой полуосью эллипса). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение e=\frac{c}{a} называется эксцентриситетом эллипса. Из определения (2a>2c) следует, что 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Геометрическое определение эллипса , выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр O эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0),~F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей эллипсу, имеем:

\vline\,\overrightarrow{F_1M}\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow{F_2M}\,\vline\,=2a.

Записывая это равенство в координатной форме, получаем:

\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.

Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx.

Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).

Обозначив b=\sqrt{a^2-c^2}>0 , получаем b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 . Разделив обе части на a^2b^2\ne0 , приходим к каноническому уравнению эллипса:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

Следовательно, выбранная система координат является канонической.

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку a=b . В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке O\equiv F_1\equiv F_2 , a уравнение x^2+y^2=a^2 является уравнением окружности с центром в точке O и радиусом, равным a .

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.

Answer 2

Дано, что расстояние от каждой точки на кривой до прямой x = -12 в два раза больше расстояния до точки F(-3,0). Давайте составим уравнение этой кривой.

Пусть точка на кривой имеет координаты (x, y). Расстояние от этой точки до прямой x = -12 можно выразить как |x - (-12)|, что просто равно |x + 12|. Расстояние от точки (x, y) до точки F(-3,0) можно выразить как √[(x - (-3))^2 + (y - 0)^2], что равно √[(x + 3)^2 + y^2].

Согласно условию задачи, расстояние от каждой точки до прямой x = -12 в два раза больше расстояния до точки F(-3,0). То есть:

2 * |x + 12| = √[(x + 3)^2 + y^2]

Теперь уберём модуль в левой части уравнения:

2 * (x + 12) = √[(x + 3)^2 + y^2]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

4 * (x + 12)^2 = (x + 3)^2 + y^2

Раскроем скобки:

4 * (x^2 + 24x + 144) = x^2 + 6x + 9 + y^2

Упростим уравнение:

4x^2 + 96x + 576 = x^2 + 6x + 9 + y^2

3x^2 + 90x + 567 = y^2

Таким образом, каноническое уравнение кривой, удовлетворяющей условию задачи, будет:

3x^2 + 90x + 567 = y^2