Question

ДАЮ 50 БАЛІВ. Доведіть, що ромб є квадратом. якщо його діагоналі утворюють з однією стороною рiвнi кути.

Answer 1

Ромб є квадратом, якщо всі його сторони мають однакову довжину і усі його кути рівні 90 градусів. Якщо діагоналі ромба утворюють з однією стороною рівні кути, то це означає, що всі інші кути також рівні 90 градусів. Таким чином, умова того, що усі сторони ромба мають однакову довжину, виконується, тому ромб є квадратом.

Answer 2

Щоб довести, що ромб є квадратом, необхідно показати, що всі чотири кути ромба є прямими кутами, тобто 90 градусів.

Припустимо, що у нас є ромб ABCD з діагоналями AC і BD, які утворюють з однією стороною рівні кути.

1. Нехай AC і BD перетинаються в точці E. Тоді за властивістю ромба, кожен з чотирьох кутів AEС, СEB, BED і DEA є гострим або тупим кутом. Також за умовою, кути СEA і СEB є рівними, оскільки діагоналі утворюють з однією стороною рівні кути.

2. Тепер розглянемо трикутник AEC. За умовою, кути СEA і СEB рівні, отже, вони дорівнюються (180 - 90) / 2 = 45 градусам. Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 градусам, то кут AEC також дорівнює 180 - 45 - 45 = 90 градусам.

3. Аналогічно, можемо довести, що інші трикутники BDE, CED і ADE також мають прямі кути.

4. Отже, всі чотири кути ромба ABCD є прямими кутами, що є ознакою квадрата.

Таким чином, ми довели, що якщо діагоналі ромба утворюють з однією стороною рівні кути, то ромб є квадратом.