Question

Рівні відрізки АВ і СД перетинаються в точці О так, що АО : ОВ = СО : ОД= 2:1Доведіть що АОД=СОВ

Answer 1

1.

якщо АВ = СД  та  АО : ОВ = СО : ОД = 2 : 1, то

АО = СО, ОД = ОВ,

2.

якщо відрізки АВ і СД перетинаються в точці О, то

∠СОВ = ∠АОД - як вертикальні,

3.

так як АО = СО, ОД = ОВ, а ∠СОВ = ∠АОД, то

ΔАОД = ΔСОВ  (за І ознакою - за двома сторонами та кутом між ними)

Answer 2

Щоб довести, що кут АОД дорівнює куту СОВ, ми можемо використати теорему про спільні кути.

За умовою ми маємо: АО : ОВ = 2 : 1 ---(1) СО : ОД = 2 : 1 ---(2)

Відношення сторін прямокутного трикутника можна виразити через тангенс кута: тангенс кута АОД = АО / ОД ---(3) тангенс кута СОВ = СО / ОВ ---(4)

Ми бачимо, що відношення сторін кутів АОД і СОВ співпадає з відношеннями сторін АО : ОВ і СО : ОД з умови (1) і (2). Це означає, що тангенси цих кутів є рівними:

АО / ОД = СО / ОВ

Ми можемо помножити обидві частини на ОВ і ОД:

АО * ОВ = СО * ОД

Це означає, що площі прямокутних трикутників АОД і СОВ є рівними, оскільки площа трикутника дорівнює половині добутку його сторін, помножених на синус відповідного кута. Оскільки обидва трикутники мають рівні площі, це означає, що кути АОД і СОВ також є рівними.

Отже, ми довели, що кут АОД дорівнює куту СОВ.