Question

Дано вершини трикутника A(1,-3),B(5,-1),C(-3,5) Скласти рівняння: а) сторін АВ і ВС; б) висоти, проведеної з вершини С на сторону АВ; в) рівняння прямої CN || AB г) кут В.

Answer 1

Ответ:

   $\bf A(1;-3)\ ,\ B(5;-1)\ ,\ C(-3;5)$  

a) Уравнение сторон запишем , применяя формулу для уравнения прямой , проходящей через 2 точки .

$\bf AB:\ \ \dfrac{x-1}{5-1}=\dfrac{y+3}{-1+3}\ \ ,\ \ \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+3}{2}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{1}\\\\\\BC:\ \ \dfrac{x-5}{-3-5}=\dfrac{y+1}{5+1}\ \ ,\ \ \dfrac{x-5}{-8}=\dfrac{y+1}{6}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x-5}{-4}=\dfrac{y+1}{3}$  

б)  Высота СН имеет нормальный вектор, коллинеарный вектору АВ . Запишем уравнение СН через нормальный вектор .

$\bf \overline{n}=\overline{AB}=(\ 4\ ;\ 2\ )\\\\CH:\ 4(x+3)+2(y-5)=0\ \ \to \ \ \ 2(x+3)+y-5=0\ \ ,\\\\\underline{2x+y+1=0}$  

в)  Прямая CN || AB , поэтому за направляющий вектор прямой СN можно взять вектор АВ .

$\bf \overline{s}=\overline{AB}=(\ 4\ ;\ 2\ )$  

Каноническое уравнение СN имеет вид :  

$\bf CN:\ \ \dfrac{x+3}{4}=\dfrac{y-5}{2}\ \ \to \ \ \ \dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-5}{1}$  

г)  Найдём cos∠B .

$\bf \overline{BA}=(-4\ ;\ -2)\ \ ,\ \ \overline{BC}=(-8\, ;\, 6\, )\\\\|\overline{BA}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\\\\|\overline{BC}|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\\\\\overline{BA}\cdot \overline{BC}=-4\cdot (-8)-2\cdot 6=32-12=20\\\\cos\angle{B}=\dfrac{20}{2\sqrt5\cdot 10}=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}\\\\\\\angle{B}=arccos\dfrac{\sqrt5}{5}$  

Answer 2

а) Щоб скласти рівняння сторін АВ і ВС, спочатку визначимо координати точок A, B, C.

A (1, -3) B (5, -1) C (-3, 5)

Рівняння сторони AB: AB: y - y₁ = m(x - x₁)

Знайдемо нахил m: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Для A(1, -3) та B(5, -1): m = (-1 - (-3)) / (5 - 1) = 2 / 4 = 1/2

Тепер підставимо значення координат точки A і нахил m у рівняння: y - (-3) = (1/2)(x - 1) y + 3 = (1/2)(x - 1) 2y + 6 = x - 1 x - 2y = 7

Рівняння сторони AB: x - 2y = 7

Аналогічним чином, рівняння сторони ВС можна знайти, використовуючи точки B і C.

b) Щоб скласти рівняння висоти, проведеної з вершини C на сторону AB, ми спочатку визначимо нахил сторони AB і використаємо його для знаходження нахилу висоти. Висота, проведена з вершини C, буде перпендикулярно стороні AB, тому нахил висоти буде оберненим та протилежним до нахилу AB.

Нахил сторони AB вже був знайдений у пункті а) і дорівнює 1/2. Нахил висоти буде -2, що є оберненим та протилежним значенням нахилу сторони AB.

Тепер, використовуючи точку C(-3, 5) і нахил -2, можна скласти рівняння висоти: y - y₁ = m(x - x₁)

Замінюючи значення, отримуємо: y - 5 = -2(x + 3) y - 5 = -2x - 6 2x + y = -1

Рівняння висоти, проведеної з вершини C на сторону AB: 2x + y = -1

в) Щоб скласти рівняння прямої CN || AB, ми можемо скористатися властивістю паралельних прямих, згідно з якою паралельні прямі мають однаковий