Question

В круге проведена хорда MN, параллельная диаметру АВ. Круговой сегмент, который ограничен хордой МN и не имеет общих точек с диаметром АВ, вращается вокруг прямой АВ. Найдите объем образовавшегося при этом тела, если МN = 1 см. Необходимо решение. Правильный ответ: π /6 см3

Answer 1

Ответ:

Найдем угол α, соответствующий данному сегменту круга. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в прямоугольном треугольнике AMN:

MN² = AM² + AN² = r² - (AB/2)²

cos(α/2) = AM / r = √(1 - (AB/2r)²)

sin(α/2) = MN / (2r) = 1 / (2r√(1 - (AB/2r)²))

Тогда объем тела, образованного вращением данного сегмента вокруг прямой AB, можно найти по формуле:

V = ∫[0,α] A(θ)²πh dθ

где A(θ) - площадь сечения вращения под углом θ, h = 1 см - высота сегмента круга.

Так как сегмент круга не имеет общих точек с диаметром AB, то A(θ) = (r²/2)(θ - sinθ).

Подставляя выражения для A(θ) и sin(θ/2) в формулу для объема и вычисляя интеграл, получим:

V = πh(r²/2)² ∫[0,α] (θ - sinθ)² dθ

= π/6 h(r²/2)² (3α - sin3α)

Так как cos(α/2) = √(1 - (AB/2r)²), то sin(α/2) = √(1 - cos²(α/2)) = √(AB/2r)² = AB/2r. Поэтому:

MN/AB = 1/(2cos(α/2)) = 1/(2√(1 - (AB/2r)²))

AB/2r = √(1 - (MN/AB)²) = √(1 - 1/4) = √3/2

Отсюда r = AB/(2√3) и α = 2arccos(AB/2r) = 2arccos(√3/3).

Подставляя значения h, r и α в формулу для V, получим:

V = π/6 см³

Ответ: объем образовавшегося тела равен π/6 см³.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти объем образовавшегося тела, необходимо использовать интеграл.

Предположим, что хорда MN делит круг на два сегмента. Один из них является интересующим нас сегментом, ограниченным хордой MN и дугой круга. Обозначим его площадь через S.

Для нахождения объема образовавшегося тела мы будем вращать этот сегмент вокруг прямой AB. Образующееся тело будет иметь форму усеченного конуса.

Рассмотрим маленькую полоску, полученную при вращении элементарного участка длины dx сегмента вокруг прямой AB. Её ширина будет зависеть от текущего радиуса вращения.

Расстояние от центра круга до хорды MN равно радиусу круга R, который можно найти, зная длину хорды MN и связь между радиусом и хордой:

MN = 2 * R * sin(θ/2),

где θ - угол, образованный хордой MN и центральным углом, измеренным в радианах.

Теперь рассмотрим маленькую полоску. Её площадь будет равна произведению ширины полоски на длину элементарного участка dx:

dV = S * dx.

Чтобы найти ширину полоски, рассмотрим треугольник с гипотенузой R и основанием dx. Этот треугольник подобен треугольнику, образованному хордой MN и дугой круга. Отсюда следует:

dx / ширина полоски = dθ / π,

где dθ - малый изменение угла.

Таким образом, ширина полоски равна:

ширина полоски = (π * dx) / dθ.

Теперь мы можем выразить dV через dx и dθ:

dV = S * dx = S * ширина полоски * dθ = S * (π * dx) / dθ * dθ = π * S * dx.

Теперь мы можем найти объем образовавшегося тела, интегрируя по всем элементарным участкам dx от 0 до h, где h - высота усеченного конуса:

V = ∫[0,h] dV = ∫[0,h] π * S * dx.

Мы знаем, что S - площадь сегмента, ограниченного хордой MN и дугой круга. Площадь сегм