Question

Реши уравнение log5(x2−4x)=1

Answer 1

ОДЗ:
x²-4x>0
x(x-4)>0

x∈(-∞;0) ∪ (4;+∞)

Решение:
$log_5(x^2-4x)=1 \\ \\ x^2-4x=5 \\ \\ x^2-4x-5=0 \\ \\ x_1=5 \\ x_2=-1$

ОТВЕТ: -1; 5

Answer 2

Чтобы решить уравнение log₅(x² - 4x) = 1, мы можем использовать свойства логарифмов и алгебруические преобразования. Давайте разберемся пошагово:

1. Применим свойство логарифма, согласно которому logₐ(b) = c эквивалентно a^c = b. В нашем случае получаем 5¹ = x² - 4x.

2. Раскроем степень 5¹, получаем 5 = x² - 4x.

3. Перепишем уравнение в квадратном виде: x² - 4x - 5 = 0.

4. Решим квадратное уравнение. Мы можем либо применить факторизацию, либо использовать квадратное уравнение, либо формулу дискриминанта. В данном случае воспользуемся формулой дискриминанта.

Для уравнения вида ax² + bx + c = 0, дискриминант D вычисляется по формуле D = b² - 4ac.

В нашем случае a = 1, b = -4 и c = -5. Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (-4)² - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36.

5. Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта D, мы можем использовать его для определения решений уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных рациональных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один корень (корень с кратностью 2). Если D < 0, то уравнение не имеет рациональных корней.

В нашем случае D = 36 > 0, поэтому уравнение имеет два различных рациональных корня.

6. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a).

В нашем случае a = 1, b = -4 и D = 36. Подставим значения в формулу:

x₁ = (-(-4) + √36) / (2 * 1) = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5. x₂ = (-(-4) - √36) / (2 * 1) = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1.

Таким образом, уравнение log₅(x² - 4x) = 1 имеет два рациональных корня: x₁ = 5 и x₂ = -1.