Question

Помогите пожалуйста Записать общее решение дифференциального уравнения: y''+3y'+3y=0

Answer 1

Составляем характеристическое уравнение:

k²+3*k+3=0.

Оно имеет корни k1=-3/2+i*√3/2, k2=-3/2-i*√3/2, где i=√-1. Корни уравнения комплексные сопряжённые, поэтому общее решение имеет вид:

y=e^(-3*x/2)*[C1*cos(√3*x/2)+C2*sin(√3*x/2)].

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения y'' + 3y' + 3y = 0, мы можем использовать характеристическое уравнение.

1. Начнем с поиска характеристического уравнения, заменяя производные соответствующими символами: r^2 + 3r + 3 = 0

2. Решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0: r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае, a = 1, b = 3 и c = 3: r = (-3 ± √(3^2 - 413)) / (2*1) r = (-3 ± √(9 - 12)) / 2 r = (-3 ± √(-3)) / 2

3. Мы получили комплексные корни, так как дискриминант отрицательный. Поэтому решение будет иметь следующий вид: r = (-3 ± i√3) / 2

4. Для нахождения общего решения, используем формулу: y(t) = c1 * e^(αt) * cos(βt) + c2 * e^(αt) * sin(βt),

где α = Re(r) и β = Im(r) являются вещественной и мнимой частью корня r соответственно, а c1 и c2 - произвольные константы.

В нашем случае, α = -3/2 и β = √3/2: y(t) = c1 * e^((-3/2)t) * cos((√3/2)t) + c2 * e^((-3/2)t) * sin((√3/2)t),

где c1 и c2 - произвольные константы, которые могут быть выбраны, чтобы удовлетворить начальным условиям или другим дополнительным ограничениям.