Question

Сформулируйте и докажите теорему обратную теореме Пифагора

Answer 1

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство:

Допустим в ΔАВС АВ²=ВС²+АС². Следует доказать, что ∠С - прямой. Рассмотрим прямоугольный ΔА₁В₁С₁ с прямым ∠С₁, у которого А₁С₁=АС и В₁С₁=ВС. По теореме Пифагора А₁В₁²=В₁С₁²+А₁С₁² ⇒ А₁В²=АС²+ВС². Но АВ²=ВС²+АС² по условию теоремы. ⇒ А₁В₁²=АВ², откуда А₁В₁=АВ

ΔАВС=ΔА₁В₁С₁ по ССС ⇒ ∠С=∠С₁

ч.т.д.

Answer 2

К сожалению, обратная теорема Пифагора не существует. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Это утверждение было доказано и является одной из основных теорем в геометрии.

Обратная теорема Пифагора, если бы она существовала, должна была бы утверждать, что если в треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов, то треугольник является прямоугольным. Однако это утверждение неверно.

Существуют треугольники, у которых квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов, но при этом они не являются прямоугольными. Такие треугольники называются псевдопифагоровыми треугольниками или треугольниками Эйзенштейна.

Таким образом, обратная теорема Пифагора не выполняется, и её невозможно сформулировать и доказать.