Question

В прямоугольной трапеции острый угол равен 60 градусов, большая бокавая сторона ровны по 20 см, найти меньшее основание

Answer 1

Так как трапеция прямоугольная, то два её угла будут равны по 90 градусов. По условиям острый равен 60, а значит, что оставшийся угол будет равен 120 градусам. Проведем прямую(AB) от меньшего к большему основанию, чтобы получился квадрат. В нём один угол равен 60, AB равно 20. Через тангенс найдем, на сколько большее основание больше меньшего. tga=a/b. В нашем случае: b=AB/tga это будет равно b=20/√3 значит, что меньшее основание равно 20-20/√3=20-11,547005=8,453

Answer 2

Обозначим меньшее основание трапеции через $x$. Также обозначим высоту трапеции через $h$.

Так как угол трапеции при основании является острым, то высота $h$ лежит внутри трапеции и образует прямой угол с меньшим основанием. Тогда внутри прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$ и меньшим основанием $x$, угол при $x$ равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Так как мы знаем большую боковую сторону трапеции, то можем выразить высоту $h$ через теорему косинусов: $h^2 = 20^2 - x^2 + 2 \cdot 20 \cdot x \cdot \cos{60^\circ} = 400 - x^2 + 20x.$

Теперь можем выразить $x$ из равенства площадей трапеции: $\frac{(x + 20) \cdot h}{2} = \frac{(20 + x) \cdot 20}{2} \cdot \sin{60^\circ}.$

Подставляем выражение для $h$ и упрощаем: $(x + 20) \cdot \sqrt{400 - x^2 + 20x} = (x + 20) \cdot 10\sqrt{3}.$

Делим обе части на $(x + 20)$ (это допустимо, так как $x + 20 > 0$) и получаем: $\sqrt{400 - x^2 + 20x} = 10\sqrt{3}.$

Возводим обе части в квадрат: $400 - x^2 + 20x = 300.$

Переносим все слагаемые с $x$ в левую часть и решаем квадратное уравнение: $-x^2 + 20x + 100 = 0.$

Решаем его с помощью формулы дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 100 = 800.$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{800}}{-2} = 10 \pm 10\sqrt{2}.$

Из этих двух корней подходит только $x = 10 + 10\sqrt{2}$, так как $x + 20 > 20$, что соответствует размерам трапеции.

Итак, меньшее основание трапеции равно $10 + 10\sqrt{2} \approx 24.14$ см (с точностью до сантиметра).