Question

Решите неравенство (x-2)^(x^2+1)>1​

Answer 1

Ответ:

Данное неравенство равносильно совокупности систем:

x-2 > 1 и x^2 + 1 > 0 или 0 < x-2 < 1 и x^2 + 1 < 0

Решая первую, получим, что x > 3, а вторая не имеет решения в действительных числах, так как выражение x^2 + 1 > 0 при любых x.

Ответ: x > 3

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Первым шагом в решении данного неравенства будет определение области допустимых значений.

Так как функция f(x) = (x-2)^(x^2+1) определена для всех x, то область допустимых значений x - любое число.

Теперь рассмотрим два случая:

1. (x-2) > 1, т.е. x > 3:

Тогда (x-2)^(x^2+1) > 1^(x^2+1) = 1.

2. (x-2) < 1, т.е. x < 3:

В этом случае, возьмем логарифм от обеих частей неравенства, чтобы избавиться от степени в основании:

ln((x-2)^(x^2+1)) > ln(1)

(x^2+1)ln(x-2) > 0

Теперь рассмотрим два подслучая:

2.1) x > 2:

Тогда ln(x-2) > 0, и неравенство можно записать как x^2+1 > 0, что всегда верно для любого x.

2.2) x < 2:

Тогда ln(x-2) < 0, и неравенство можно записать как x^2+1 < 0, что неверно для любого x.

Итак, решение неравенства (x-2)^(x^2+1) > 1:

x ∈ (-∞, 2) ∪ (3, +∞)