Question

Вычислить производную функции y=cos x^1/3 , используя определение.Помогите пожалуйста,желательно подробно .

Answer 1

Ответ:

y' = -1/3 sin x^(-2/3)

Пошаговое объяснение:

(cos x)' = -sin x

(x^n)' = n*x^(n-1)

y' = -1/3 sin x^(-2/3)

Но это не точно, дружище! Но по двум формулам сверху надо решать - 100%

Answer 2

Y'=(cosx^1/3)'=(-sinx^1/3)*(x^1/3)'=

-sinx^1/3*(1/3*x^(1/3-1)=

-sinx^1/3/(3*x^2/3)

Answer 3

Для вычисления производной функции y=cos(x^(1/3)) при помощи определения необходимо воспользоваться следующим выражением:

y'(x) = lim_(h->0) [cos((x+h)^(1/3)) - cos(x^(1/3))] / h

Первым шагом заметим, что у нас имеется разность косинусов в числителе, которую мы можем представить в виде произведения двух тригонометрических функций по формуле:

cos(a) - cos(b) = -2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

Тогда получим:

y'(x) = lim_(h->0) [-2*sin((x+h)^(1/3)/2 + x^(1/3)/2)*sin((x+h)^(1/3)/2 - x^(1/3)/2)] / h

Заметим, что в числителе у нас есть произведение двух функций, которые стремятся к 0 при h->0, а значит мы можем использовать формулу Лопиталя и продифференцировать каждую из них по переменной h:

y'(x) = lim_(h->0) [sin((x+h)^(1/3)/2 - x^(1/3)/2) / h^(-1/3) - sin((x+h)^(1/3)/2 + x^(1/3)/2) / h^(-1/3)] / (-2/3*h^2/3)

Вынесем общий множитель h^(-1/3) из числителя и получим:

y'(x) = lim_(h->0) [(sin((x+h)^(1/3)/2 - x^(1/3)/2) - sin((x+h)^(1/3)/2 + x^(1/3)/2)) / h^(-1/3)] / (-2/3*h^2/3)

Осталось заметить, что разность двух синусов мы можем представить в виде произведения двух косинусов по формуле:

sin(a) - sin(b) = 2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)

Тогда получим:

y'(x) = lim_(h->0) [-2*cos((x+h)^(1/3)/2 + x^(1/3)/2)sin(h^(1/3)/2) / h^(2/3)] / (-2/3h^2/3)

Упростим выражение и получим:

y'(x) = lim_(h->0) [3*sin(h^(1/3)/2)*cos((x+h)^(1/3)/2 + x^(1/3)/2) / h]

Осталось заменить h^(1/3) на новую переменную t и применить предел при t->0, получим:

y'(x) = 3*cos(x^(1/3)/2)*lim_(t->0) [sin(t^(1/3)/2) / t^(1/3)]

Заметим, что в скобка