Question

Помогите исследовать функцию и построить ее график: y=2/x^2 +2x

Answer 1

Научитесь пользоваться формулами, для ввода данных. 
Ибо начинаешь считать, а понимаешь что даже задание неправильно дали.

Вот как ОДНО из решение, при толковании вашей формы записи как:
$f = \frac{2}{ x^{2} } + 2x$

точка экстремума (1.26, 3.78)
точка перегиба (1.105 х 10^8, 2.21 х 10^8)

Судя по числам, видно же, что лажа.
Перепишите нормально входные данные! 

Answer 2

Для начала, давайте приведем данную функцию к более удобному виду: y = 2/x^2 + 2x = 2x/x^2 + 2x = 2x(x+1)/x^2 = 2(x+1)/x.

Теперь мы можем приступить к построению графика. Начнем с анализа поведения функции при изменении аргумента x.

1. Асимптоты: Поскольку функция содержит дробное выражение, нужно проверить наличие вертикальной и горизонтальной асимптот. Для горизонтальной асимптоты найдем предел функции, когда x стремится к бесконечности: lim(x->inf) y = lim(x->inf) 2(x+1)/x = 2. Таким образом, функция имеет горизонтальную асимптоту y=2.

Для вертикальной асимптоты найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю: x^2 = 0, x=0. Это означает, что у функции есть вертикальная асимптота x=0.

2. Интервалы знакопостоянства: Для определения интервалов знакопостоянства необходимо проанализировать знак функции на каждом из интервалов между асимптотами. a) Для x<0 имеем знаменатель отрицательный, а числитель положительный, поэтому функция отрицательна на этом интервале. b) Для 0<x<-1 имеем знаменатель и числитель отрицательные, поэтому функция положительна на этом интервале. c) Для x>-1 имеем знаменатель и числитель положительные, поэтому функция положительна на этом интервале.

3. Точки пересечения с осями координат: Для определения точек пересечения с осями координат необходимо приравнять функцию к нулю и решить уравнение. 2(x+1)/x = 0, x=-1. Таким образом, функция пересекает ось x в точке (-1, 0).

Итак, мы получили следующие результаты:

• график функции имеет вертикальную асимптоту x=0 и горизонтальную асимптоту y=2;
• функция отрицательна на интервале x<0 и положительна на интервалах x>0 и -1<x<-0;
• функция пересекает ось x в точке (-1,0).

Теперь мы можем построить г