Question

Найти наибольшее значение функции у=-8х^2+х^3+13 на отрезке -5; 5

Answer 1

Отрезок включает крайние точки.

Даны функция у = x³ - 8х² + 13 и отрезок [-5; 5]

Находим производную: y' = 3x² - 16x и приравниваем её нулю.

3x² - 16x = 0.

х(3x - 16) = 0.

Отсюда находим 2 критические точки: х = 0 и х = 16/3.

Исследуем их на экстремум.

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -1 0 4 5,3333 6

y' = 19 0 -16 0 12 .

Значит, максимум в точке х= 0, которая входит в заданный промежуток.

В точке х = 16/3 = 5,3333 имеем минимум, поэтому не заданном промежутке нет значения больше, чем в точке х = 0.

Ответ: у(макс) = 13.

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции на данном отрезке, нужно найти её максимальное значение внутри этого отрезка.

Для начала найдем значения функции на концах отрезка -5 и 5:

y(-5) = -8*(-5)^2 + (-5)^3 + 13 = -120 + (-125) + 13 = -232

y(5) = -8*5^2 + 5^3 + 13 = -200 + 125 + 13 = -62

Теперь нужно найти максимальное значение функции на этом отрезке. Для этого найдем точку, в которой производная функции равна нулю, и проверим, является ли это максимумом.

y' = -16x + 3x^2

-16x + 3x^2 = 0

x(3x - 16) = 0

x1 = 0, x2 = 16/3

Проверим, является ли x1 = 0 точкой максимума:

y''(x1) = -16 < 0

Значит, x1 = 0 является точкой максимума функции.

y(0) = -8*0^2 + 0^3 + 13 = 13

Таким образом, наибольшее значение функции y на отрезке [-5, 5] равно 13 и достигается в точке x = 0.