Question

Однажды Вася решил отправиться на прогулку. Взглянув на часы, он вышел из дома. Спустя ровно час он вернулся домой и обратил внимание, что угол между минутной и часовой стрелкой с момента его ухода не изменился. На какое по счёту деление часов (из 60) может указывать часовая стрелка в момент его прихода, если минутная стрелка указывает ровно посредине между 40 и 41 минутой? Если ответов несколько — введите их через пробел в порядке возрастания.

Answer 1

Это 13 и 43, но там просто записать через пробел

Answer 2

За час минутная стрелка повернулась на 360/60 = 6 градусов. Пусть часовая стрелка указывает на деление под номером x (0 <= x <= 59). За час она повернется на 360/12 = 30 градусов, а за ту же минуту - на 0.5 градуса. Значит, за час часовая стрелка повернется на 30 + 0.5*x градусов.

Если угол между стрелками не изменился, то разность между углами, указываемыми часовой и минутной стрелками, должна быть кратна 360 градусов. Изобразим на координатной плоскости положения стрелок в момент ухода Васи. Пусть ось x направлена по направлению минутной стрелки, а ось y - по направлению часовой стрелки. Тогда положение стрелок задается двумя точками на окружности единичного радиуса: (1, 0) и (cos(a), sin(a)), где a - угол между стрелками в радианах.

За час минутная стрелка повернется на угол 6 градусов, поэтому ее конечное положение задается точкой (cos(6°), sin(6°)). Тогда угол между стрелками в момент ухода Васи равен a = arcsin(sin(6°)/sqrt(2)), примерно равный 22.5°.

Чтобы разность углов между стрелками была кратна 360 градусов, должно выполняться равенство:

cssCopy code
30 + 0.5*x - a = 360*k

где k - целое число. Решим это уравнение:

scssCopy code
30 + 0.5*x - arcsin(sin(6°)/sqrt(2)) = 360*k
x = (720k - 60 - 2arcsin(sin(6°)/sqrt(2))) / 1

Найдем первые несколько значений x:

makefileCopy code
k=0: x = 1.515 (округление до ближайшего целого дает 2)
k=1: x = 16.868 (округление до ближайшего целого дает 17)
k=2: x = 32.222 (округление до ближайшего целого дает 32)
k=3: x = 47.575 (округление до ближайшего целого дает 48)

Ответ: возможные значения делений на часах, на которые может указывать часовая стрелка в момент прихода Васи, равны