Question

Помогите решить " розв'язати диференціальне рівняння : y'x+y= -xy^{2} 

Answer 1

 y'x + y = -xy²
 y' + y/x= -y² 
 Это уравнение Бернулли которое приведем к линейному уравнению
 y'/y² + 1/(yx) = -1
 Обозначим z = 1/y
 Тогда z' = -1/y²
 -z' + z/x = -1
 z' -  z/x = 1
 Это уравнение является линейным относительно z
Решим методом Бернулли
Полагаем что z =u*v тогда z' =u'v + uv'
u'v + uv' - uv/x = 1
u'v + u(v' -v/x) = 1
Сначала решаем уравнение
v' -v/x = 0
v' = v/x
dv/v = dx/x
ln(v) = ln(x)
v = x
Теперь решаем уравнение
u'х + u*0 = 1
u' = 1/x
du =(1/x)dx
u = ln(x) + C
Итак общее решение уравнения
z = uv = x(ln(x)+C)) = xln(x) + Cx
Находим переменную y
y = 1/z =1/(xln(x)+Cx)
Общее решение дифференциального уравнения
y = 1/(xln(x)+Cx)

Answer 2

Дано диференціальне рівняння:

y'x + y = -xy^2

Щоб розв'язати це рівняння, використовуємо метод інтегруючого множника.

Крок 1: Знаходимо похідну від y з умови y'x

y'x = dy/dx

Крок 2: Знаходимо коефіцієнт перед y у рівнянні

Порівнюючи дане рівняння зі стандартним виглядом диференціального рівняння:

y' + P(x)y = Q(x)

бачимо, що P(x) = 1/x.

Крок 3: Знаходимо інтегруючий множник

Інтегруючий множник - це функція M(x), яку множимо на обидві частини рівняння, щоб отримати можливість застосувати правило Лейбніца при диференціюванні добутку M(x)y.

Для знаходження інтегруючого множника ділимо коефіцієнт перед y на M(x) та диференціюємо за x обидві частини рівняння, отримуючи:

(dM/dx)y + M(x)(dy/dx + P(x)y) = 0

Оскільки P(x) = 1/x, то маємо:

(dM/dx)y + M(x)(dy/dx + y/x) = 0

Права частина цього рівняння є добутком M(x) та похідної від M(x) за x. Для того, щоб вона рівна була нулю, потрібно, щоб цей добуток був похідною від функції M(x). Тому, можемо записати:

d/dx (M(x)y) = (dM/dx)y + M(x)(dy/dx + y/x) = 0

Це означає, що M(x)y - інтеграл від 0 до x від -M(t)(dt/dt), тобто:

M(x)y = C

де C - довільна стала. Тому:

M(x) = C/y

Крок 4: Множимо інтегруючий множник на обидві частини рівняння

C/y(y'x + y) = -C/x y^2

Крок 5: Інтегруємо обидві