Question

Y=2x^2,y=2x+4 рассчитать площу фигуры, ограниченную линиями.срочно!!!!

Answer 1

Даны функции у=2x² , y=2x+4.
Рассчитать площадь фигуры, ограниченную заданными линиями.

Находим крайние точки фигуры, образованной заданными линиями, приравняв функции:
2x² = 2x + 4.
2х² - 2х - 4 = 0. Сократим на 2:
х² - х - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-1)^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√9-(-1))/(2*1)=(3-(-1))/2=(3+1)/2=4/2=2;x_2=(-√9-(-1))/(2*1)=(-3-(-1))/2=(-3+1)/2=-2/2=-1.
Получили 2 точки: х = -1 и х = 2.
Прямая линия y=2x+4 проходит на полученном промежутке выше параболы у = 2х², поэтому площадь фигуры равна интегралу:
$S= \int\limits^2_{-1} {(2x+4-x^2)} \, dx = \frac{2x^2}{2} +4x- \frac{2x^3}{3} |_{-1}^2= \frac{12+24-16}{3} - \frac{3-12+2}{3} =9.$

Answer 2

Для расчета площади фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения. Подставим выражение для y из второго уравнения в первое уравнение и решим уравнение относительно x:

2x^2 = 2x + 4

2x^2 - 2x - 4 = 0

x^2 - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 2 и x = -1. Подставим эти значения в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения y:

При x = 2: y = 2 * 2^2 = 8

При x = -1: y = 2 * (-1)^2 = 2

Таким образом, точки пересечения находятся в (2, 8) и (-1, 2).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь фигуры равна разности между интегралом от верхней кривой до оси x и интегралом от нижней кривой до оси x:

S = ∫[a,b] (y1(x) - y2(x)) dx,

где a и b - координаты точек пересечения, y1(x) - уравнение верхней кривой (2x^2), y2(x) - уравнение нижней кривой (2x + 4).

Тогда:

S = ∫[-1,2] (2x^2 - (2x + 4)) dx

S = ∫[-1,2] (2x^2 - 2x - 4) dx

S = [(2/3)x^3 - x^2 - 4x] [-1,2]

S = [(2/3)2^3 - 2^2 - 42] - [(2/3)(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1)]

S = [16/3 - 4 - 8] - [-2/3 + 1 + 4]

S = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2x^2 и y = 2x + 4 равна 4/3.