Question

Log2(x^2+4)-log2(x^2-x+10)>=log2(2-1/x) решите пожалуйста,это неравенство,там знак больше или равно

Answer 1

$\displaystyle log_2(2x^2+4)-log_2(x^2-x+10) \geq log_2(2- \frac{1}{x})\\\\ODZ: \\\\ 2x^2+4\ \textgreater \ 0; x\in R\\\\x^2-x+10\ \textgreater \ 0; x\in R\\\\ \frac{2x-1}{x}\ \textgreater \ 0; x\in (-oo;0)(1/2;+oo)$

решение: 
$\displaystyle log_2 \frac{2x^2+4}{x^2-x+10} \geq log_2( \frac{2x-1}{x})\\\\ \frac{(2x^2+4)*x-(2x-1)(x^2-x+10}{x(x^2-x+10)} \geq 0\\\\ \frac{2x^3+4x-2x^3+3x^2-21x+10}{x(x^2-x+10)} \geq 0\\\\ \frac{3x^2-17x+10}{x(x^2-x+10)} \geq 0\\\\ \frac{(x-5)(3x-2)}{x(x^2-x+10)} \geq 0$


____-___ 0 ____+_____2/3_____-___5____+___

(0;2/3][5;+oo)
__+_____0__-__1/2__+____________________

с учетом ОДЗ
ОТВЕТ (1/2; 2/3][5;+oo)

Answer 2

Начнем с преобразования левой части неравенства:

log2(x^2+4)-log2(x^2-x+10) = log2((x^2+4)/(x^2-x+10))

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

log2((x^2+4)/(x^2-x+10)) >= log2(2-1/x)

Применим экспоненту с обеих сторон неравенства:

(x^2+4)/(x^2-x+10) >= 2-1/x

(x^2+4)/(x^2-x+10) - 2 >= -1/x

x(x^2+4-2x^2+2x-20) <= -x

-x^3+2x^2+2x >= 0

x(x-2)(x+1) >= 0

Таким образом, неравенство выполнено, если x <= -1 или 0 <= x <= 2. Если же x > 2, то левая часть неравенства отрицательна, а правая - положительна, следовательно, неравенство не выполняется.

Таким образом, решением исходного неравенства является множество всех x, таких что -1 <= x <= 0 или 0 <= x <= 2.