Question

Решить неравенство √(2x^2 -8x + 6) + √(4x- x^2 -3) < x-1

Answer 1

ОДЗ
2x²-8x+6≥0⇒2(x²-4x+3)≥0⇒x²-4x+3≥0
-x²+4x-3≥0⇒x²-4x+3≤0
Значит x²-4x+3=0
x1+x2=4 U x1*x2=3
x1=1
x2=3
Правая часть равняется 0,следовательно x-1>0
x>1

Ответ х=3

Answer 2

Начнем с извлечения корней из под корней:

√(2x^2 - 8x + 6) = √2*(x - 1) * √(x - 3)

√(4x - x^2 - 3) = √(x - 1) * √(4 - x)

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

√2*(x - 1) * √(x - 3) + √(x - 1) * √(4 - x) < x - 1

Факторизуем √(x - 1):

√(x - 1) * (√2*(x - 3) + √(4 - x)) < x - 1

Для удобства введем обозначение:

a = √2*(x - 3) + √(4 - x)

Тогда:

√(x - 1) * a < x - 1

Перенесем все члены неравенства влево:

√(x - 1) * a - (x - 1) < 0

Домножим обе части на √(x - 1):

a * (x - 1) - (x - 1)^2 < 0

(a - x + 1) * (x - 1) < 0

Область допустимых значений для x определяется условиями:

2x^2 - 8x + 6 >= 0 (так как под корнем должно быть неотрицательное выражение)

4 - x >= 0 (так как под корнем должно быть неотрицательное выражение)

Эти условия приводят к ограничению на x: 1 <= x <= 3

Далее, рассмотрим два случая:

1. a - x + 1 > 0:

Тогда неравенство сводится к:

x - 1 < 0

что не выполняется для допустимых значений x.

2. a - x + 1 < 0:

Тогда неравенство сводится к:

x - 1 > 0

что также не выполняется для допустимых значений x.

Таким образом, исходное неравенство не имеет решений на интервале [1, 3].

Ответ: неравенство не имеет решений на интервале [1, 3].