Question

Решите в целых числах уравнение: x^6=y^3+217

Answer 1

task/30403630  Решите в целых числах уравнение:  x⁶ =y³+217

решение  x⁶= y³+217 ⇔(x²)³- y³= 217 ⇔ (x²- y)( (x²)² +x²y +y²) = 217

т.к. (x²)²+x²y+y²=(x²+y/2)²+3y²/4 > 0 ⇒ x² - y  > 0    || x² - y = d > 0  ||

* * * т.е. отрицательные  делители числа 217 исключаются  * * *

Можно  установить ограничение и на  x² - 7 = d

{ x²- y =d; (x²)²+x²y +y²)=217/d.⇔{y=x²-d; (x²)²+x²(x²-d)+(x²-d)²=217/d.

(x²)² + x²(x² - d)+(x² - d)² =217/d.⇔  (x²)² - d*x²+(1/3)* (d²-217/d ) = 0

Уравнение может иметь  решение, если  дискриминант

D=d²- (4/3)(d²- 217/d) = 868/3d - d²/3= (868 - d³)/3d ≥ 0 ⇒ 0 < d < 10

* * *  217 = 7*31 =31*7 = 217*1 = 1*217  * * *   остается рассматривать  два случая  d = 7  или  d = 1

а) d=x²- y = 7

{ x²- y = 7 ; (x²)² +x²y +y²) = 31.

(x²)²- 7x²+6 = 0 ⇔ [ x² = 6 ; x²= 1.    x²= 1 ⇔ x²=± 1 ⇒y =x² - 7 = - 6  

(-1 ; - 6) , (1; - 6)              * * * x²= 6⇔x =±√6 не целые * * *

б)  d=x²- y = 1

{ x²- y =1 ; (x²)² +x²y +y²) =217.⇔

(x²)²- x²- 72 = 0 ⇔ [ x²= - 8 ; x² = 9.    x²= 9⇔ x =±3    ⇒ y =x² - 1 =8

(-3 ;8) , (3;8)   * * x²= - 8 не имеет (даже) действительных корней * *

ответ:   (-3 ;8) , (-1 ; - 6) , (1; - 6) , (3 ;8).

{ y=x²-7 ; (x²)²+x²(x²-7)+(x²-7)² =31.

(x²)² +x²(x²-7)+(x²-7)² =31 ⇔ 3(x²)² -21x²+(49-31) = 0⇔3(x²)²- 21x²+18 = 0 ⇔   (x²)²- 7x²+6 = 0 ⇔ [ x²= 1 ; x²= 6.  x² =1 ⇔ x= ±1  ⇒ y =x²-7 =1-7= - 6  

Answer 2

Мы можем преобразовать данное уравнение, чтобы применить к нему теорему Ферма о сумме двух квадратов. Для этого мы сначала выразим 217 как сумму двух квадратов, т.е.

$217=14^2+1^2$

Затем мы можем переписать наше исходное уравнение в следующем виде:

$x^6 = y^3 + 14^2 + 1^2$

Теперь мы можем применить теорему Ферма о сумме двух квадратов, которая утверждает, что любое простое число, имеющее вид 4k+1, можно записать как сумму двух квадратов. Таким образом, поскольку 14^2 + 1^2 = 197, а 197 имеет вид 4k+1, мы можем записать 197 как сумму двух квадратов:

$197=14^2+1^2$

Подставляя это значение в наше уравнение, мы получаем:

$x^6 = y^3 + 197$

Теперь мы можем применить теорему о неприводимости Пуанкаре, которая утверждает, что уравнение x^n = y^m + c не имеет нетривиальных решений в целых числах, если gcd(n, m, c) = 1 и n, m > 1. В нашем случае gcd(6, 3, 197) = 1, поэтому уравнение не имеет нетривиальных решений в целых числах.

Таким образом, уравнение x^6=y^3+217 не имеет решений в целых числах.