Question

Найти число сторон выпуклого многоугольника,если из одной вершины исходит 5 диагоналей?

Answer 1

Диагональ проходит через две не смежные вершины . Следовательно кроме той вершины через которую проходят 5 диагоналей есть еще 5 вершин и еще 2 вершины которые смежны. итого 8 штук.. . сторон тоже 8...

Answer 2

Если из одной вершины выпуклого многоугольника исходит 5 диагоналей, то мы можем провести 5 отрезков от этой вершины до остальных вершин многоугольника. При этом каждый из этих отрезков является диагональю выпуклого многоугольника, а каждая вершина, кроме той, от которой проведены диагонали, является вершиной многоугольника.

Чтобы найти число вершин многоугольника, нужно вычесть из общего числа вершин многоугольника количество вершин, которые соединены с данной вершиной ребрами. Так как каждая вершина многоугольника соединена ребром с двумя другими вершинами, то число вершин многоугольника равно 5 + 2 = 7.

Далее, чтобы найти число сторон многоугольника, нужно заметить, что каждая диагональ соединяет две вершины многоугольника, которые не являются соседними. Значит, если из каждой вершины многоугольника провести диагонали ко всем остальным вершинам, мы получим 5 * 7 / 2 = 17.5 диагоналей (здесь мы делим на 2, чтобы исключить повторения диагоналей). Так как многоугольник с n вершинами имеет n(n-3)/2 диагоналей, то получаем следующее уравнение:

n(n-3)/2 = 17.5

Решая это уравнение методом подбора, получаем n = 7 (поскольку число вершин должно быть целым). Таким образом, выпуклый многоугольник имеет 7 вершин и, соответственно, 7 сторон.