Question

Для функции z=ln(u^2+v^2),где u=x cos y v=y sin x Найти частные производные dz/dx и dz/dy

Answer 1

$z=ln(u^2+v^2)\; ,\; \; u=x\, cosy\; \; ,\; \; v=y\, sinx\\\\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{2u}{u^2+v^2} \cdot cosy+\frac{2v}{u^2+v^2}\cdot y\, cosx \\\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{2u}{u^2+v^2}\cdot (-xsiny)+\frac{2v}{u^2+v^2}\cdot sinx$

Answer 2

Для нахождения частных производных dz/dx и dz/dy функции z=ln(u^2+v^2), где u=x cos y и v=y sin x, необходимо применить правило дифференцирования сложной функции.

Частная производная dz/dx вычисляется путем дифференцирования функции z по переменной x при фиксированных значениях y:

dz/dx = (∂z/∂u)(∂u/∂x) + (∂z/∂v)(∂v/∂x)

Вычислим частные производные по очереди:

∂z/∂u = 2u/(u^2+v^2) = 2x cos y/(x^2 cos^2 y + y^2 sin^2 x)

∂u/∂x = cos y

∂z/∂v = 2v/(u^2+v^2) = 2y sin x/(x^2 cos^2 y + y^2 sin^2 x)

∂v/∂x = y cos x

Теперь подставим полученные значения в формулу для частной производной dz/dx:

dz/dx = (2x cos y/(x^2 cos^2 y + y^2 sin^2 x))*cos y + (2y sin x/(x^2 cos^2 y + y^2 sin^2 x))*y cos x

Аналогично вычисляем частную производную dz/dy:

dz/dy = (∂z/∂u)(∂u/∂y) + (∂z/∂v)(∂v/∂y)

Вычислим частные производные по очереди:

∂u/∂y = -x sin y

∂z/∂u = 2u/(u^2+v^2) = 2x cos y/(x^2 cos^2 y + y^2 sin^2 x)

∂v/∂y = y cos x

∂z/∂v = 2v/(u^2+v^2) = 2y sin x/(x^2 cos^2 y + y^2 sin^2 x)

Подставляем значения в формулу для частной производной dz/dy:

dz/dy = (2x cos y/(x^2 cos^2 y + y^2 sin^2 x))*(-x sin y) + (2y sin x/(x^2 cos^2 y + y^2 sin^2 x))*y cos x