Question

Докажите , что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, произведенная из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы

Answer 1

Все просто:) Высота в равнобедренном Δ это медиана и биссектриса. Т.е. Делит прямой угол на два по 45 градусов. Угля при гипотенузе тоже по 45, если рассмотреть любой из новых маленьких Δ- высота равна 1/2 гипотенузы

Answer 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB=AC, и угол B прямой. Пусть H - основание высоты, проведенной из вершины C на гипотенузу AB. Мы должны доказать, что CH = AB/2.

Во-первых, по определению высоты, треугольник CHB подобен треугольнику ABC. Это можно доказать следующим образом: угол BCH является прямым, а угол ABC также прямой (по условию), поэтому угол B и угол HBC являются смежными. Кроме того, угол CAB равен углу CBA (по условию равнобедренности треугольника), а значит, угол BCH также равен углу CBA. Полученные углы совпадают с углами треугольника ABC, следовательно, треугольник CHB подобен треугольнику ABC.

Таким образом, мы можем записать следующее отношение сторон треугольников CHB и ABC:

CH/AB = CB/AC

Так как AB = AC, мы можем упростить это выражение до:

CH/AB = CB/AB

CB является катетом треугольника ABC, а значит, CB = AB/√2 (это легко вывести из теоремы Пифагора). Подставляя это значение, получаем:

CH/AB = (AB/√2)/AB = 1/√2 = √2/2

Теперь мы можем умножить обе части этого уравнения на AB и получить:

CH = AB/√2 = AB × √2/2

Но AB × √2 = AB + AB = 2AB, поэтому мы можем заменить эту часть на 2AB/2 = AB:

CH = AB/2

Таким образом, мы доказали, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, произведенная из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы.