Question

В прямоугольном треугольнике из вершины угла,равного60 градусов, проведена биссектриса,длина которой 18 см. Найдите длину катета ,лежащего против даного угла

Answer 1

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС С прямым углом А и углом В=60 градусов. Биссектриса ВМ=18 см. Найти АС
1. ΔАМВ прямоугольный с углом АВМ=60/2=30 (ВМ-биссектриса)
АМ=1/2 ВМ=1/2*18=9 см
2. ΔМВС - рпавнобедренный угол МВС= углу ВСМ=30 градусов. Следовательно, ВМ=МС=18 см
3. АС=АМ+МС=18+9=27 см.

Answer 2

Пусть в прямоугольном треугольнике вершина угла, равного 60 градусов, обозначена буквой A, основание, лежащее против этого угла, обозначено буквой BC, а катет, лежащий против другого острого угла, обозначен буквой AB.

Так как биссектриса угла A делит угол на две равные части, то угол BAC равен 30 градусам. Также из свойств биссектрисы известно, что отрезок BA делит сторону BC в отношении длин AC/AB.

Пусть AC = x, тогда AB = BC = 2x (так как угол BAC равен 30 градусам, то треугольник BAC является равносторонним). Таким образом, отношение длины стороны BC к длине стороны AB равно 1:2.

Из теоремы Пифагора для треугольника ABC имеем: (AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2

Заменяем BC на 2AB: (AB)^2 + (2AB)^2 = (AC)^2

Упрощаем: 5(AB)^2 = (AC)^2

Так как длина биссектрисы AC равна 18 см, то: AC/AB = 18/AB

Заменяем AC на x и AB на y: x/y = 18/y x = 18y

Теперь мы можем выразить длину стороны AB через длину биссектрисы: x^2 = 5y^2 (18y)^2 = 5y^2 324 = 5y^2 y^2 = 64.8 y = √64.8

Таким образом, длина катета, лежащего против угла 60 градусов, равна √64.8 см (приблизительно 8,05 см).