Question

100 баллов Диагональ выпуклого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром в О, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная АОС делит четырехугольник на две части равной площади

Answer 1

ABCD÷AO×C........так вроде.

Answer 2

Для начала заметим, что любой выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, является трапецией. Действительно, по свойствам окружности противоположные углы суммируются до 180 градусов, а значит, сумма противоположных сторон четырехугольника равна сумме диагонально противоположных сторон, что и определяет трапецию.

Пусть диагональ AC пересекает диагональ BD в точке E, а точка F – середина стороны AB. Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, то треугольники AOE и COE являются прямоугольными, и, следовательно, равны по площади: S(AOE) = S(COE).

Также заметим, что треугольники AEF и CEF равны по площади, так как они имеют равные основания (отрезок EF) и высоты (расстояние от F до прямой AC). А значит, S(AEF) = S(CEF).

Теперь рассмотрим ломаную AOS. Поскольку отрезки AO и OS являются радиусами окружности, то они равны между собой: AO = OS. Значит, точка S лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AO. А значит, отрезок SF является высотой треугольника AEF, а отрезок SE – высотой треугольника COE.

Таким образом, мы получили, что S(AOE) = S(COE), S(AEF) = S(CEF) и высоты этих треугольников, опущенные на ломаную AOS, равны между собой. Значит, площади частей четырехугольника ABCD, разделенного ломаной AOS, равны между собой. Доказательство завершено.